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J.  DE  JONG.  SUR  l’intégration  DE  l’ÉQUATION 
essayé  de  suivre  la  voie  opposée  et,  partant  d’une  relation  déter- 
minée entre  y et  je  me  suis  proposé  de  eonslruire  l’équation 
différentielle  à laquelle  convient  cette  relation,  ce  qui  permet 
alors  de  déterminer  en  même  temps  une  intégrale  particulière  de 
cette  équation.  Dans  ce  qui  va  suivre,  je  me  bornerai  à l’équation 
différentielle  linéaire  du  second  ordre.  La  méthode,  il  est  vrai, 
s’applique  aussi  aux  équations  d’ordre  supérieur,  mais  les  diffi- 
cultés analytiques  s’accroissent  alors  dans  une  proportion  con- 
sidérable. 
2.  Considérons  l’équation  différentielle  du  second  ordre  réduite 
à zéro 
ou  bien,  après  division  par  P,  l’équation 
(1). 
y 
dx 
dx^ 
L’équation  intégrante  de  (1)  sera  alors 
d (p 
d X 
— (X  — 2rf.XJ~+X,'i-ïz=0.  (2).  ') 
d X“ 
Prenons  maintenant,  comme  relation  la  plus  simple  entre  y et  go , 
g^  = y ou  =r  C ?/ (3) , 
donc  — — C — ^ ? =:  C ; portant  ces  valeurs  et  celle 
dx  dx  dx'^  dx^ 
de  go  dans  l’éq.  (2),  on  aura 
y(l-d.X  + d\X,)-(X-2d.X,)'^  + X,p>  = 0.  (4). 
’ dx  dx^ 
En  retranchant  ensuite  (1)  de  (4),  on  trouvera 
>j{-d.X  + d\X,}  — 2{X  — d.X,)'^^  = 0 
dx 
(p). 
*)  Dans  cc  Mémoire,  le  signe  d.,  placé  devant  une  lettre,  a la  même  signifi- 
d P 
cation  que  la  notation  D ou  Da-  chez  Cauchy;  d.  P est  donc  équivalent  à — — , 
d X 
d^Q 
