DIFFÉRENTIELLE  LINÉAIRE  DU  SECOND  ORDRE. 
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Posons  maintenant 
X — d.  X,=zp • (6), 
(5)  devient  alors 
— ijd.p  — 2pŸ  = Oj 
(l  OC 
G 
ly^  — \lp  G et  y := (7) , 
\^P 
et 
^ = n-i±. 
dx  2 P 
(8) 
Substituant  ces  valeurs  de  — 
d X 
et  — d dans  (1),  cette  équation 
dx 
devient 
K?)l=» 
OU 
2p‘^—Xpd.p~X,pd\p  H-  [d.pY^O.  . . (10). 
Pour  que  la  relation  (p  = ?/  s’applique  à (1),  X et  Xj  doivent 
donc  satisfaire  à l’équation  (10),  dans  laquelle  la  fonction  p est 
déterminé  par  (6).  Lorsque  cette  condition  est  remplie, 
_ C 
i/p 
est  en  même  temps  une  intégrale  particulière  de  (1). 
Il  y a donc  toute  une  classe  d’équations  différentielles  linéaires 
du  second  ordre,  à laquelle  convient  la  relation  = y.  On  peut,  en 
effet,  attribuer  une  forme  quel  conque  à l’une  des  fonctions  Xou  Xj , 
puis  déterminer  l’autre  au  moyen  de  (10);  on  a alors  p et  une 
intégrale  particulière  de  l’équation  construite.  Mais  l’éq.  (10)  est 
une  équation  non  linéaire  du  second  ordre  en  p.  Si  l’on  prenait 
pour  X la  valeur  simple  x,  p deviendrait  x — d.X^,  et  en  sub- 
stituant ces  valeurs  dans  (10)  on  obtiendrait  une  équation  différen- 
tielle non  linéaire  en  X,  du  troisième  ordre.  Les  difficultés  ne 
seraient  guère  moindres  si  l’on  commençait  par  adopter  une  valeur 
