DIFFÉREiNTIELLIi  LINEAIRE  DU  SECOND  ORDRE. 
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Si  Ton  divise  cette  équation  par  ±Xj  et  qu’on  y substitue 
pour  N“  sa  valeur  tirée  de  (9),  elle  donne 
/>2-2X  J [2x‘^-xd , (P .p-\-x'^Xd.p-\-xp(LX  j -2xhl.X  j -Ax^X  ^ —O , 
ou 
o;2X , d^p+p{p+xd.X , +2X , )+d.p{x^X  J +2^X , )-2xH.X , ^ =0, 
ou 
X-  X ^d'^  .p pxX  -\-xd.p  (a?Xj  + 2X  J — 2x'^d.  Xj — Sx-  Xj  =0, 
ou  bien 
xX^d^.p  X -I-  2 X , ) d.p  -h  X P — 2x  ixd.  X ^ + 4 X j ) =r 0.  ( 14). 
Les  fonctions  X et  X . doivent  donc  satisfaire  à cette  équation 
lorsqu’on  a la  relation  y(f>-=.x^^  et  dans  ce  cas 
• ] 2xX. 
y — e > 
est  une  intégrale  particulière  de  (1),  tandis  que  p et  N sont 
déterminées  par  les  équations  (6)  et  (9). 
Soit  P = 0 , 
alors  (14)  donne  a; d.  X ^ +4Xjr=:0,  donc  X,rz:  — ; 
(6)  a;(X  — c/.X  J + 2X,  =0,  doncX=— 4; 
a?"" 
et  de  (9)  l’on  tire  2a?^  j — ^ 
! a?^  ) X 
±-l^^ 
X 
tti 
dx 
±\x^  , 
tandisque  (10)  donne  zzy  = e 
laquelle  est  par  conséquent  une  intégrale  particulière  de  l’équation 
y x^  — 2 — -h  X — ~ 0. 
^ dx  dx‘^ 
1.  Nous  traiterons  encore  le  cas  où,  dans  les  équations 
_i_  Y _u  Y — n 
