D. BIERENS DE HAAN. NOTICE SUR DES INTÉGRALES. 401 
cos^ co d ce ^34^ 
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où , dans la réduction , on a fait usage de la propriété connue des 
coefficients du binôme, 
(:)=î^(T) ■••■'« 
5. Lorsque la fonction F {x) se présente , comme dans les para- 
graphes précédents , sous la forme d'un produit des mêmes puis- 
sances de sin X et de cosx^ c'est-à-dire comme sin<^x.cos<^x ^ on 
peut aussi faire usage , avec succès , de la méthode d'intégration 
par parties; elle nous donne 
• f^^ sin<^+^x.cos<^+^ X d X ^ fk^ sinf^+^x.cos^+^ x d.cos2x 
i {1 -\-psin'^ x.cos^ x)^—'^ ^ iJ {l-i-psin^xxos^ x)^—'^ dx 
^ 1 rsin<^+'^ xxos^-^'^ xxos 2 xl nn ^ , 
= — - / ^ — / ^ cos2 xdx. 
^[.{l -\- p sin'^xxos'^xY—^l J 
0 0 
i{c-{-l).sin<^xxos<^xxos2x ^s^sin<^'^^xxos<^-^^x.psin2xxos2x] 1 
(l-^psin^x.cos'^xy—^ (1 p sin^ xxos''-x)^ j J 
^ , 1 sin(^xxos<^ X d X „^ F/ . . • •> •> \ 
» =0+-j'' cos^2x, \ {c-^l){l-\-psin^xxos^x) — 
4J {l-\-psin^xxos^xy L 
{a — 1)2/3 sin^ xxos"^ x~]^ ; 
aussi longtemps du moins que l'on a c > — 1 , de sorte que le 
terme intégré puisse s'évanouir pour les deux limites. 
Or , dans l'intégrale au second membre , on trouve les facteurs 
cos^ 2x = 1 — Asin'^xxos^x et + (c — 2a -\- S)psin'^xxos'^x] 
ainsi l'on pourra ranger ces produits suivant les puissances de 
(1 + p sin^ xxos'^x), de telle sorte qu'il viendrait 
