410 D. BIEREXS DE HAAX. XOTICE SUR DES INTÉGRALES. 
La première de ces réductions s'obtient par la substitution de 
X ^ \ TT — ^ ; on trouve ainsi généralement 
x¥(x)dx ({tt — x)F {^7T — X, d X 
J l -\- p sm^ x.cos^ X S 1 + jo sin- x.cos'^ x 
0 0 
— 1 F{^7T — x)dx xF {^71 — x)dx 
' J 1 -\- p sin^ x.cos- X J 1 
p sin^ X.COS' X J 1 + p sin^ x.cos'^x 
u 0 
d'où simplement 
psin^xxos^x ' J 1 -\- p sin"^ xxos^x 
a.F ^+F^.- x) 
J 1 -\- p sin^ xxos^ X ' J 1 
0 0 
Fi^)dx__ 
J 1 -\- p sin^ xxos^x 
0 
Or, on peut faire usage de ce théorème pour les intégrales 
précédentes , chaque fois que la valeur de l'intégrale du second 
membre est connue : ce qui naturellement est indispensable. Mais 
cette application est surtout utile quand on a, comme c'est en 
général le cas pour nos intégrales , F ( | tt — x) = F {x) , d'où 
F{x) + F (I TT — x) = 2¥ {x). Par cette voie , les intégrales du 
§ 1 nous donnent les suivantes 
p =in P ^ = . (53) 
J l-\-psin'^xxos'^x ^ J l-{-p sin^xxos^x 4y 4-\-p 
Quant à l'intégrale (2) du § 1, on a F (:r) + (4 ^ — r) = 0 , ce 
qui ne fournit rien. Pour l'intégrale (3) du même paragraphe 
on a F (.r) + F {\ n — x) — sin'^x + cos'^x= 1 , et l'on se trouve 
ramené au résultat précédent; il en est de même pour l'inté- 
grale (4). Mais l'intégrale (5) et les suivantes , au contraire , nous 
donnent 
^ X sin xxos X d X , fk^ sinxxosxdx 
/i^^ X sm xxos X dx ^ 
1 -\- p sin'^xxos'X ' J 1 
p sin'^ xxos^x 
l l(v/4 +p + v/pl, (P> 0), ... (54) 
