412 D. BIERENS DE HAAN. NOTICE SUR DES INTÉGRALES. 
'i^ X sin'^ X . cos'^ X d X . sin^ x , cos^ x d x 
X sin* X . cos* xdx , sm* a. 
J (1 -\- p sin^ X . cos'^ x)^ ^ J (1 -\- p sin"^ xxos^x)^ 
0 0 ^ . 
= — zznz— T h (58) 
Sp ip p^4-^p \/4-^p -i 
tandis que les autres intégrales du même paragraphe ne four- 
nissent, soit rien de nouveau, soit rien du tout. 
11. De la même manière, aux intégrales du § 3 on peut 
faire subir la réduction du théorème (i) pour a z= 2. 
r- =i.^ ^±^,(59) 
J {l-\-psin'^x.cos^xy J {l-{'psin'^x.cos^x)^ ^4_l_p^ 
f^^ X sin x.cos xdx , f^^ sin x . cos x dx 
J (1 -\- p sin"^ X , cos'^x)^ * J (1 p sin^ X . cos^ x)"^ 
0 0 . 
= m¥) b +^==«lKv/i^+v/7)!],(F> 0),.(60) 
12. Les considérations que Ton trouve au § 4 peuvent égale- 
ment trouver quelquefois leur application à ces résultats. 
Lorsque ¥{x)=sin^ ^x.cos^-^x, il s'ensuit ¥ {^7r-x)= sin^-^xxos^ ^ % 
et par conséquent F {x) + F ( tt — x) = sin^—^ xxos^—^ x [sin'^cx-\- 
4-cos2<^^) ; ici le facteur sin'^'^ x + cos'^^ x peut être simplifié , puis- 
qu'on a (sm^ -4- co5^ ip)^ = 1 ; cette réduction ramène nos inté- 
grales à des expressions plus simples. 
Lorsque F {x) ==. sin^ x . cos^ x, on a F tt — x) zizF (x), et 
par suite F {x) F n — x) = 2F (x) j en ce cas. l'application 
des formules du § 4 peut se faire avec succès. 
Le théorème (c) donne alors, quand I, =f(p) est connu. 
xF{x)dx F(x)dx 
p xF{x)dx ^^^Cr 
J (l-\'Vsin'^xxos^xy+'^ ^ J 
(l-\'Psin'^xxos^xy+'^ J (l-\-psin^xxos^xy-^'^ 
0 G 
