D. BIERENS DE HAAN. NOTICE SUR DES INTÉGRALES. 415 
i (1 + psin^ x.cos"^ xY 32 J i\-\-p sin^ x.cos^ xY ~^ 
0 0 
3 x'''F(x)dx , . 
+ _ tï: p . \-L _ (m) 
4 j (1 + ^ sin'^ x.cos"^ xy 
0 
Mais puisque la dernière intégrale du second membre ne pou- 
vait être évaluée, d'après ce que nous venons de voir, cette 
évaluation est également impossible pour l'intégrale du premier 
membre de (m). On peut seulement déduire de (m) la formule de 
réduction , peu utile , 
(3 7r— 4x) 0-0/ N 7 1 ô ri"^ Y (x)dx 
^ . ^ i x^F(x)dx=:~7T^ I ^ 1-1 . (n) 
(lA-vsin^xxos'^xY S J (l-\-psin^x.cos'^xy 
0 
En recourant , toutefois , à la méthode d'intégration par parties , 
on peut trouver aussi 
2 Ji-^ x¥{x)dx _ x' F {x) 
2 
(1 + p sin"^ x.cos^ xy (1 -\- p sin"^ x. cos^ xy \ 
0 0 
/^^x^ ^^(1 H-i>si^^ x.cos^ x)¥{x) ~ aF (x) psin 2 xxos 2x 
(1 -\- p sin"^ xxos^ xy-^^ 
En premier lieu, le terme intégré s'évanouit pour la limite 
inférieure xz=:0^ k cause du facteur rr- ; pour la limite supérieure 
il devient f7r^F(f7r). Mais comme ici il faut de nouveau qu'on 
ait F (4 TT — x) :=zF {x) , il s'ensuit F tt) = F (0) : de sorte que 
l'expression précédente devient {7r^F(0). Or, celle-ci s'annule 
pour nos intégrales , et par conséquent le terme intégré s'évanouit. 
Ensuite, pour les intégrales des § 9, 10, 11 et 12, on a toujours 
F {x) ■= sin(^ xxos^ x , donc F' (x) = c sin^—'^ xxos^^—^ xxos 2^, et 
ainsi le numérateur de l'intégrale au second membre devient 
sin'^—^xxos(^—^x.cos2x\ c{l-^psin'^xxos^ x) — 2apsin'^ x.cos'^ x | = 
= X . cos<^— 1 x.cos 2 x\c -\- {c — 2a) p sin'^xxos^ x\=i . {ô) 
z=z sin<^—^ x.cos<^—'^x.cos2x[2 a-{-{c~^2a){l-\-psin'^ x.cos^ x)] .. (^) 
