114  G.  J.  LEGEBEKE.  QUELQUES  PROPRIÉTÉS 
jours  satisfait  par  ces  distributions  de  masse.  Je  me  propose  de 
démontrer  ici  deux  de  ces  relations,  en  les  déduisant  du  théo- 
rème de  Green. 
2.  Soit  ds  \m  élément  de  la  surface  et  dv  un  élément  de 
volume  de  l’espace  limité  par  S ; soient , en  outre , U et  V deux 
fonctions  des  coordonnées  Xj  restant,  de  même  que  leurs 
dérivées  premières , finies  et  continues  pour  tous  les  points  situés 
à*  l’intérieur  de  S]  on  a alors,  d’apres  le  théorème  de  Green: 
f V --ds  + (va  Udv  = ( U —ds  + (UA  Vdv  . .(1) 
J dn  J J dn  J 
Dans  cette  équation,  — représente  la  différentiation  suivant 
dn 
la  normale  menée  intérieurement  à tandis  que  A indique 
l’opération 
d"^  d‘^  d‘^ 
dx‘^  dy"^  dz‘^ 
Les  premières  intégrales  des  deux  membres  sont  relatives  à la 
surface  les  secondes  à l’espace  enveloppé  par  S. 
Supposons  maintenant  que  la  surface  S enveloppe  complète- 
ment une  autre  surface  S' ^ et  qu’à  l’intérieur  de  S'  une  masse 
M soit  distribuée  continûment;  le  potentiel  V de  cette  masse, 
de  même  que  ses  dérivées  premières , est  alors , en  chaque  point 
x^  y^  z^  une  fonction  continue  des  coordonnées  x,  y -,  z,  Quant^ 
aux  dérivées  secondes,  on  a pour  tous  les  points  en  dehors  de 
de  l’espace  limité  par  S' 
A F=0, 
et  pour  tous  les  points  en  dedans  de  S' 
A F = 4 TT  J , 
où  représente  la  densité  de  la  masse  M au  point  x^  ^ y ^,z^. 
V étant  pris  égal  au  potentiel  de  la  masse  M dans  l’équa- 
tion (1),  la  dernière  intégrale  de  cette  équation  devient  nulle 
pour  tous  les  points  compris  entre  les  surfaces  S'  et  S.  On 
trouve  alors: 
