GIÉNÊRALES  D^ÜNE  COUCHE  MATERIELLE,  ETC. 
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f V ds+  f VAUdv=f  U — ds— 47t  f Uq,  dv,  .(2) 
J dn  J J dn  J 
SS  s s' 
si  dv^  désigne  l’élément  de  volume  de  l’espace  intérieur  à S' 
et  que  les  intégrations  par  rapport  à et  >S"  soient  distinguées 
par  les  indices  ajoutés  aux  signes  d’intégration. 
La  couche  matérielle  étendue  sur  la  surface  S , et  qui  en  tous 
les  points  de  S et  en  dehors  de  ^ a le  même  potentiel  que  la 
masse  ilf,  aura  donc  aussi  en  ces  points  pour  potentiel  V ; quant 
à son  potentiel  dans  les  points  intérieurs  à nous  le  désigne- 
rons par  Vi.  La  fonction  Vi,  de  même  que  ses  dérivées,  est 
finie  et  continue  pour  tous  les  points  de  l’espace  limité  par  S. 
En  ces  points,  elle  satisfait  toujours  à l’équation 
A Fi  = 0. 
En  substituant  dans  (1)  pour  F la  fonction  Fi, 
f Vi^^^ds^  f ViAUdv=  f 
J dn  J J dn 
on  a: 
ds  . . . (3) 
SS  s 
Les  premières  intégrales  qui  entrent  dans  les  équations  (2)  et 
(3)  sont  égales , parce  qu’on  a évidemment , pour  tous  les  points 
de  la  surface 
F=Fi. 
Mais  il  n’en  est  pas  de  même  des  intégrales 
f U et  f U ^~ds. 
J dn  J dn 
s s 
D’après  une  propriété  connue,  si  la  densité  de  la  couche 
matérielle,  en  un  point  de  est  représentée  par  (>,  on  a en 
ce  point 
dVi  dV 
4:71  Q. 
dn  dn 
En  soustrayant  membre  à membre  l’équation  (3)  de  l’équa- 
tion (2),  on  obtient  donc: 
I {V—  Vi)  A Udv  = 47i  j Uçds  — 4,t  j ÜQ,dv,  ..(4) 
S ^ s' 
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