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O.  J.  LEBEKE.  QUELQUES  PROPRIÉTÉS 
Cette  équation  se  simplifie  lorsqu’on  prend  pour  U une  fonction , 
satisfaisant  aux  mêmes  conditions  que  le  potentiel  d’une  couche 
matérielle  d’une  densité  arbitraire  étendue  sur  la  surface  S , dans 
les  points  situés  à l’intérieur  de  c’est-à-dire,  lorsqu’à  U on 
substitue  une  fonction  qui,  dans  tous  les  points  intérieurs  à 
1°  reste  finie  et  continue,  de  même  que  ses  dérivées,  et 
2°  satisfait  toujours  à l’équation 
A U=0. 
Nous  représenterons  une  pareille  fonction  par  Pi^  et  nous  l’ap- 
pellerons une  fonction  Pi  de  la  surface  S Soit  donc  Ü^Pi^ 
l’équation  (4)  devient  alors 
J Pio  ds  = j Pi  dv^ (5) 
s s' 
ou,  si  ods  et  dv^  sont  respectivement  remplacés  par  dm 
et  dm^  ^ on  aura  enfin  : 
j Pidm=  j Pi  dm\ (6) 
s s' 
3.  L’équation  (6)  exprime  une  propriété  très  générale  de  la 
distribution  de  masse  en  question.  En  prenant  pour  la  fonction 
Pi  des  formes  particulières,  on  peut  déduire  une  série  d’équa- 
tions faisant  connaître  des  propriétés  particulières  de  la  couche 
matérielle  étendue  sur  la  surface  S. 
Soit  E la  distance  d’un  point  situé  en  dehors  de  S'  à un 
point  a?,  situé  sur  S ou  en  dedans  de  la  fonction  - 
E 
est  alors,  de  même  que  ses  dérivées,  finie  et  continue  pour  tous 
les  points  intérieurs  à S',  et  on  a en  outre. 
»)  Lejeune-Dirichlet,  dans  ses  Vorlesungen  über  die  im  umgekehrten  Ver^ 
hàltniss  des  Quadrats  der  Ëntfernung  wirkenden  Kràfte , p.  130.  donne  à une 
telle  fonction  le  nom  de  fonction  U pour  des  points  intérieurs  à S.  Dans 
ma  dissertation  inaugurale  : De  functie  van  Green  y Utrecht,  1879,  j’ai  proposé 
pour  ces  fonctions  la  notation  et  le  nom  ci-dessus  indiqués. 
