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G.  J.  LEGEBEKE.  QUELQUES  PKOPRIÉTÉS 
5.  Une  équation  tout  aussi  générale  que  l’équation  (5)  peut  aussi 
être  obtenue  pour  le  cas  où  l’on  distribue  sur  la  surface  S une 
masse  qui,  en  tous  les  points  sur  5 et  en  dedans  de  5,  ait  le 
même  potentiel  qu’une  masse  donnée  i¥,  située  en  dehors  de  S. 
Pour  parvenir  à cette  équation,  on  décrit  de  l’origine  des  coor- 
données prise  pour  centre , et  avec  un  rayon  B , une  sphère 
telle  que  la  surface  iS  et  la  masse  M soient  situées  à son 
intérieur.  Le  théorème  de  Green  peut  alors  être  appliqué  à 
l’espace  compris  entre  la  surface  S et  la  surface  de  la  sphère. 
Dans  l’équation  (1)  on  prend  pour  V d’abord  le  potentiel  de 
la  masse  ilf,  et  ensuite  le  potentiel  de  la  couche  matérielle 
étendue  sur  S,  en  des  points  situés  sur  S et  en  dehors  de  S. 
L’équation  qui  correspond  à l’équation  (4)  trouvée  précédemment 
renferme  alors,  en  outre,  deux  intégrales  relatives  à la  surface 
de  la  sphère.  Mais  si  l’on  prend  pour  U une  fonction  qui,  pour 
tous  les  points  en  dehors  de 
1°  soit  finie  et  continue , de  même  que  ses  dérivées , 
2°  satisfasse  à la  condition  A U zz:  0 , et 
3^  possède  la  propriété  que  les  expressions 
R U,  —,  —,  B^  — 
dx  dy  dz 
restent  finies  à une  distance  infinie,  les  intégrales  relatives  à la 
surface  de  la  sphère  seront  nulles  pour  J?  = oo.  La  fonction 
substituée  {]  possède  évidemment  toutes  les  propriétés  du  poten- 
tiel d’une  distribution  arbitraire  de  masse  sur  la  surface  S en 
des  points  extérieurs  à S.  On  l’appellera  une  fonction  Pu  de  la 
surface  S *).  De  même  que  précédemment,  on  obtient  ensuite 
l’équation 
j Pu  dm  =z  j Pu  dm^ 
s s' 
ainsi  que  des  équations  correspondant  à celles  trouvées  au  § 4. 
‘)  Lejeune- Dirichlet  {loc.  cit.)  nomme  ces  fonctions  des  fonctions  U pour 
des  points  extérieurs  à l’espace  enveloppé  par  S, 
