226  D.  BIERENS  DE  HAAN.  SUR  LA  DIFFÉRENTIATION 
ation  par  rapport  à une  constante  n’avaient  pas  encore  été  donnés. 
Une  recherche  de  tout  autre  nature  m’ayant  forcé  de  m’occuper 
incidemment  de  cette  question,  j’ai  obtenu  les  résultats  suivants 
pour  les  intégrales  ou  entre,  comme  facteur  ou  dénominateur, 
l’expression  \/  1 — sin^  x ou  l’expression  \/  1 p‘^  sin^  x. 
2.  En  premier  lieu  on  trouve 
d Tl  / \ ^ 
Eip.x) 
d{p^) 
=/ 
J dx 
d(p^) 
sin'^  X 
dx  \/  1 — sin^  X = 
0 
^ sin^  xdx 
0 
d 
p^  sin"^  x 
\/  1 — p^  sin^x  1 
F (p,x)  = — ——  f — — 
\/l — sin'^x 
, — sin‘^  X , sin^xdx 
= (-  =-  = ^ — = 
„ \/  1 — sinx^  \/  1 ■ 
\/  1 — p^  sin^  x' 
Pour  réduire  ces  résultats  et  d’autres  analogues  à des  inté- 
grales elliptiques,  considérons  l’intégrale 
P mm  xdx 
J A{p  . xÿ 
0 
suivant  l’expression  connue  A(p.x)z=z\/  1 — p^  sin  x.  D’abord 
il  faut  qu’ici  b soit  impair  =26+  1 , puisque  pour  b pair  l’on 
retomberait  sur  des  intégrales  rationnelles  goniométriques , et  non 
sur  des  intégrales  elliptiques.  Encore,  il  faut  que  a soit  pair, 
car  pour  a impair  z=2a  ~\~  1 , l’intégrale 
rx  X . sin  xdx 
*1^  \/(l — p"^  sin"^  xŸ^^  ^ 
donnerait  lieu  à la  substitution  cosx'=iy  ^ ce  qui  nous  fournirait 
