DE  QUELQUES  INTÉGRALES  ELLIPTIQUES. 
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f 
(1 
(1  p"^  2/^)^'^* 
intégrale  algébrique  irrationnelle.  Or,  pour  le  cas  de  a = 2 a et 
6 = 26  + 1 , Ton  peut  agir  comme  suit. 
La  méthode  d’intégration  par  parties  ne  mène  pas  directement 
au  but , par  conséquent  il  faut  différentier  quelque  fonction 
appropriée.  On  peut  y faire  usage  du  principe  suivant,  où  y et 
2;  sont  toutes  deux  des  fonctions  de  x. 
Supposons  que  nous  voulions  chercher  une  formule  de  réduc- 
t 'u^  d X 
tion  pour  l’intégrale  | , et  que  la  méthode  d’intégration 
J 
par  parties  ne  nous  conduise  à aucun  résultat  utile.  Alors,  si 
l’on  prend  pour  la  fonction  à différentier  ^ , la  différenti- 
ation  logarithmique  fournira 
dx  z^—^  L y ^ J 
— ^ l)  y'  z'  Z y z'  Z — {h  — l)y  2:'^  J = 
— t-  |^(a  y'  Z — h y z')  Z'  y'  zf  Z y z''  Z y z'"^^  = 
d 
= 7 r (a  y'  « — 6 2/  ^ (y  »'  «)1 
zi  \_  . dx  J 
(«) 
Et  maintenant  cette  méthode  sera  applicable,  aussitôt  que 
l’on  pourra  développer  le  facteur  polynôme  au  second  membre 
suivant  des  puissances  ascendantes,  soit  de  soit  de  2:,  en  y 
permettant  encore  y^  ou  z^.  Car  le  premier  membre  est  une 
différentielle  exacte;  donc  l’intégration  du  second  membre  four- 
nira une  série  de  quelques  intégrales  de  même  famille,  ce  qui 
conduira  aisément  à la  formule  de  réduction  que  l’on  cherche. 
