DE  QUELQUES  INTÉGRALES  ELLIPTIQUES. 
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L’on  voit  aisément , que  le  but  proposé  est  atteint.  Car 
“par  la  première  réduction  (/5)  on  trouve  par  intégration,  entre 
les  limites  0 et  que  la  fonction  au  premier  membre  s’éva- 
nouit pour  la  limite  a?  = 0 ; lorsque  ensuite  on  tire  du  second 
membre  la  première  intégrale,  il  vient 
T — 
J a- 
1 
(1 — (l~jP^)(2b—l)  L (1 — sin'^xy—'i 
[- 
sin^a-+-l  X . cos  X 
sin^^  xdx 
(1  — p'^  sin'^  xy—\ 
+ (2a  — 26  + 3)  I' 
sin^^  xdx 
(1  — p^  sin^  xy—i 
ü 
(I) 
véritable  formule  de  réduction , puisque  le  paramètre  variable , 
qui  est  ici  la  puissance  h au  dénominateur , s’abaisse  chaque  fois 
de  l’unité. 
De  même,  on  peut  employer  la  seconde  réduction  (/).  Mais 
ici  l’intégrale  à évaluer  contient  la  puissance  2 -h  4 de  sin  ; 
donc  il  faut  auparavant  changer  a en  a — 2;  puis  intégrer 
entre  les  limites  0 et  de  ir , ce  qui  annule  le  terme  au  premier 
membre  pour  (r  = 0 ; enfin  on  peut  déduire  la  dernière  intégrale 
au  second  membre.  On  trouve  ainsi 
Cx  Sî 
J n 3 
sin^^  xdx 
(1  — p‘^  {2a — 2 
H-  j(l  +;p^){a+\)-~p‘^ 
6— [( 
— 3 
sm 
X .cos  X 
(1  — p"^  sin‘^  xy—^ 
b[  2 2 xdx 
J fl — sin'^  x\^+h 
-(2 a -3)  r sin^a-^jcdx  -j 
S (1 — p‘^sin‘^xy+h\ 
(II) 
de  nouveau  une  formule  de  réduction,  mais  où  le  paramètre, 
