DE  QUELQUES  INTÉGRALES  ELLIPTIQUES. 
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/;r  [X  1 — 'p’^sin^x 
sin^  xdx\/ \ — p^sin^x:=:f  — ,.j=:sin^  xd  x = 
^ Q \/l — p‘^sin‘^x 
=z  sin  X ,cosx\/  1 — sin’^  x -{- 
-t-  (1  — p"^)  F{p  .x)  — {\  — 2p^)  E {p  . rr)J (5) 
Quant  aux  premières  formules  de  ce  paragraphe , on  a encore 
par  la  formule  (I)  pour  a =i=  1 , è =:  1 , 
/ 
^ xdx 
1 r sin^x.cosx  Ç 
1— L~, 
\/l — p‘^sin‘^x  ^ P h \/l — p^sin‘^x 
-h  ^ f sin^  X d X \/  1 — p^  sm^  x J 
^ sin^  xdx 
^ \/l — p^sin'^x 
ou,  par  les  intégrales  (3)  et  (5), 
1 r 1+(1 — p^)sin^x 
^^(1  1 — p^sin^x 
p^sinx.cosx 
— (1— ^2)F(p.æ)+£’(^.a:)J.  (6) 
3.  Or,  ces  évaluations  nous  suffiront  pour  pouvoir  calculer 
les  premières  formules  du  paragraphe  précédent;  car  celles-ci 
deviennent , par  l’intermédiaire  des  intégrales  (3)  et  (6) , 
d 1 r -I 
j^^E(p.x)=^  ^E{p.x)  — F{p.x)^,  (a) 
^ F {p.x)=  ) \E{p.x)-{\-p^)F{p.x)~ 
1 _f_  (1  __^2)  rjf,  -j 
, — jp^  sin  X . COS  X \\ {h) 
\/  1 — sm^  X J 
ou , lorsqu’on  introduit  la  notation  symbolique  des  opérations , ce 
qui  est  ici  d’une  grande  clarté, 
Archives  Néerlandaises,  T.  XV.  15 
