238  D.  BIERENS  DE  HAAN.  SUR  LA  DIFFÉRENTIATION 
— 2 (1  + 
[1  + 2p^  (1  + P , 
d{p^) 
d 
d 
].,= 
1+  {\-^p'^)sin‘^x 
_ 
sin‘^  X 
p'^sinx.cosx\/l-^p‘^  + {\-[-p‘^)E^'^  . . Qi^) 
qui,  en  apparence  plus  simples  que  les  équations  différentielles 
antérieures  {g)  et  (/^),  ont  aussi  quelque  ressemblance  avec  les 
formules  (c)  et  {d)  du  § 3. 
6.  Lorsqu’on  applique  l’opération  — 2/?^  à l’intégrale 
elliptique  de  la  seconde  espèce , on  se  trouve  reporté  vers 
une  intégrale  de  la  première  espèce;  au  contraire,  l’opération 
, appliquée  à l’intégrale  de  la  première  espèce , 
dip^). 
lit  de 
sauf  un  facteur 
nous  fournit  de  nouveau  une  intégrale  de  la  deuxième  espèce , 
- — et  une  fonction  goniométrique  ; ainsi  qu’il 
L—p'^ 
s’ensuit  des  formules  symboliques  (c)  et  {d)  du  § 3. 
En  premier  lieu  il  est  clair  que  l’on  pourra  appliquer  aux 
intégrales  elliptiques  de  chaque  espèce  des  opérations  telles  qu’il 
en  résultera  des  intégrales  de  même  espèce.  Ainsi  l’on  trouvera 
ici,  par  l’application  successive  des  opérations  symboliques  (c) 
et  {d)  du  § 3, 
z=E(p.x)  — p"^  sinx  . cosx  ] \/\ — p"^sin‘^x-\-  — — 
= E{p  , x) — sin x.cos x j 
1 
sin^x 
\/l — p^sin^x 
(1  — p^)  \/  1 — p^  sin'^  X -+• 
\/  1 +JW- 
sm^  X 
(*) 
