240  D.  BIERENS  DE  HAAN.  SUR  LA  DIFFÉRENTIATION 
de  seconde  espèce  nous  mènent  soit  à une  intégrale  elliptique 
de  la  même  espèce  soit  à une  de  la  première  espèce;  outre 
des  fonctions  goniométriques , qui  ici  consistent  en  un  facteur 
sinx.cosx  et  en  un  autre  qui  esf  fonction  de  \/l — p'^sin^x. 
On  peut  agir  de  la  même  manière  à l’égard  de  l’intégrale 
elliptique  de  la  première  espèce  ; alors  on  se  trouve  conduit  aux 
résultats  suivants. 
[l-p*]  [ l+2p.  = 
sin'^x 
)= 
= E[p  .x)  — sinx  , cos  x\  — (1  — p’^)<y  1 — sin"^  x -i- 
\/  \ — p^  sin"^  x)^ 
5(^]  = 
{d) 
= F {p  . x)  — sin  X . cos  X — 2 p“^  \/  1 
1+p^  1 i 
p"^  sin^  X 
\/\ — sin‘^x  \/  \ — sin- 
X 
(k) 
.=zE  {p  ,x)  — sinx.  cosx^  — ( 1~  1 p^  -\-8p^)\/  1 — sin^x  4- 
l^4p2__4pi  (34_p2)(i_^2) 
I 2 
\/l — p'^sin'^x  \/l — p^sin’^x 
1 ~p‘ 
\/l — p^sin’^x 
■(K) 
Il  n’est  pas  difficile , par  les  formules  obtenues , de  parvenir 
à des  résultats  plus  généraux.  A cette  fin , désignons  les  opéra- 
tions suivantes 
