DE  QUELQUES  INTÉGRALES  ELLIPTIQUES. 
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c-f]  ]=-?■■«)..>  [i-2f^-|j]=e^(,)i 
et  soit  en  général  'J'  (æ)  une  fonction  rationnelle  de  l’irrationnelle 
I — p'^sin^x]  alors  il  suit  directement  des  formules  (i),  (i,) 
et  (ij),  (d),  (k)  et  (fc,), 
[Q.P.Q  . . Q.P.Q]  E {p . x)  =:  F {p . x)  + sin x , cos x . {x)^ . . (i^) 
[F.Q.F . . Q.F.Q]  E (p.x)  = E{p.x)  + sin  x . cos  x , (ir), . . (^4) 
[F.Q.P  . . P.Q.P]  F [p,x)  z=z  E(p.x)  sinx .cosx [x)^ . .(k^) 
[Q.P.Q  • • P.Q.P]  F {p.x)  ^ F {p.x)  4-  sinx.cosx.fi*  {x). . .{k^) 
Or,  par  cette  voie  nous  n’arriverons  pas  à une  expression 
générale  pour  la  fi*  (^r);  la  comparaison  de  sa  valeur  dans  les 
formules  précédentes  i,  , 
ni  encore  quand  on  tient  séparés  les  termes , qui  proviennent  de 
de  différentes  opérations,  et  que  l’on  emploie  toujours  la  for- 
mule de  réduction  simple 
sin"^  X 1 — (1  — p"^  sin"^  x)  
\/  1 — p^  sin^  \/  1 — p"^  sin^ 
\/  1 — p^  sm^  X l — p^  sin^  X 
pour  réduire  la  fonction  entre  crochets,  au  second  membre,  à 
une  fonction  de  \/\ — p'^sin'^x  seule. 
Mais  aussitôt  que  plus  tard  on  passe  aux  intégrales  elliptiques 
complètes , c’est-à-dire  prises  entre  les  limites  0 et  a u ^ cette  diffi- 
culté disparaît  tout-à-fait,  puisque  la  fonction  fi*  de  \/l — p'^cos’^  x 
ne  peut  jamais  devenir  infinie , et  qu’un  des  facteurs  sinx  ou  cosx 
disparait  toujours  pour  les  limites  rm:  0 ou  } tt.  Par  consé- 
quent ce  terme  complémentaire  s’évanouit  tout-à-fait. 
7.  Passons  aux  mêmes  considérations  par  rapport  aux  formules 
