244  D.  BIERENS  DE  HAAN.  SUR  LA  DIFFÉRENTIATION 
1 + (1  4-  p^)sin^  X sin  x . cos  x 
[S]F,-E,-^  —^==U==^  ^ =E,  + 
\/  1 4-  sin‘^x  \/  1 4- 
p^  smx  .cosx 
+ — I 
\/l4-p^  ' \/]  4-p^ 
4-  \/  1 4-p^  X = 
= Æ,+ 
smx. COS  X 
\/i+p 
2 I 
(1 4-p^)v/l  4-p^sm^o?4' 
\/l 
= JE'j  4-  sm  0? . cos  a?  (ir)  ; [h^) 
où  Vf  (a?)  comme  plus  haut,  sera  une  fonction  rationnelle  de 
\/  1 sin"^  X.  Appliquons  ces  opérations  encore  une  fois , mais 
réciproquement , c’est-à-dire  R sur  S ^ et  S sur  R , nous  trouverons 
[S.Æ]  E,  = E, 
4-  sin  X , cosx  w (x) , 
. ...  (n) 
[iî.S]  F,=F, 
4-  sin  X , cos  X v-f  {x) , 
. ...  (o) 
puis,  en  toute  généralité 
[SM.S  ,,.R.S.R]  E,=E, 
4-  sin  X .cosx  [x) , 
. . . .(«,) 
[R.S.R,,,R.SM]  E,  = F, 
4-  sin  X . cos  xw  {x) , 
. . . .(Wî) 
[R.S.R,..S.R.S]  F,  =F, 
4-  sin  X .cosx  w {x) , 
• • • -(Oi) 
[S.R.S  . . . S.R.S]  F,  = E, 
-i-  sin  X . cos  xw(x). 
(0,) 
Toutes  les  formules  de  ce  paragraphe  souffrent  de  la  même 
difficulté,  que  l’on  ne  sait  pas  déterminer  généralement  la  fonc- 
tion v^,  dont  la  loi  est  inconnue  encore.  Mais  aussitôt  que  plus 
tard , on  passe  aux  intégrales  entre  les  limites  0 et  ^ tt  , de  sorte 
qu’elles  deviennent  des  intégrales  elliptiques  complètes  au  module 
P 
— -■ . , le  terme  complémentaire,  dont  on  se  plaignait , s’ éva- 
\/l  4-p" 
nouit  à cause  des  deux  facteurs  sin  x et  cos  x , dont  l’un  s’an- 
nulle  à chaque  limite  0 ou  2 
