DE  QUELQUES  INTÉGRA.LES  ELLIPTIQUES. 
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8.  Encore  une  tout  autre  voie  peut  mener  à des  résultats  non 
moins  intéressants,  quand  on  diiFérentie  la  formule  [a)  encore 
une  fois  par  rapport  à , et  que  Ton  se  permet  l’usage  des 
différentielles  premières  (a)  et  (h).  Ainsi  l’on  trouvera 
-J-r.  E{v.x)  = ^-{E(p.x)-F{p.  X)]  + 
d{p^)  2p* 
1 
2p^  (1  — p^) 
1 “4“  f 1 ”"“Î9  ^ ^ tî/  ' ^ ”1 
X \ — — --p‘^,^inx.cofix—[\—p^)F{p.x)-i-E(p.x)  I = 
* \/  1 — sin’^  X ' -* 
=iTJ^E{p.x)-Fip.x)]+  ^ Y^l-lJ^E[p.x)+{\-\)F{p.x)+ 
2p*  4ip*  L 1 — P 
1 + (1 — p'^)  sin"^  X p"^  sin  X , cos  x~i  1 
2(1 — p^)-\~p^  1 + (1 — p‘^)sin^x  sinx.cosx 
4p4  (1  __piE{p.x)  + y J _^2  siw^  a;4p2(l~-p»)’  ' 
puis , en  éliminant  la  fonction  F (p . x)  aii  second  membre  à 
l’aide  de  la  formule  (a), 
[ 
1 d 
d{p’^Y  p’^d[p‘^) 
~^E(p.x)  = 
I' 
2 — p' 
2p4  4^4(1 
E{p.x)-^ 
lH-(l — p‘^)sin‘^x  sinx,cosx  — p"^ 
y 1 _ p2  ^ 4p^  (1— — 4p4(i__^2)  \P-^) 
1 _j_  (1  — p^)sin^  X sin  x .cos  x 
\/ \ — p"^  sin^  X (1  _p^) 
d’où  enfin 
