DE  QUELQUES  INTÉGRALES  ELLIPTIQUES. 
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1 4- 
2 (1  + p‘^y 
{E,-F,)  + 
1 
(1 
1 + (1  + jo^)  ^ . — 
X .COSX\/  1 
\/'l  -h  sin‘^  X 
{t) 
On  voit  que  la  fonction  F ^ a disparu  du  second  terme  au 
second  membre,  et  qu’il  y apparaît  seulement  dans  le  premier 
terme.  Or,  ce  premier  terme  peut  se  déduire  de  l’équation  (ej 
elle-même.  C’est  ainsi  qu’on  trouve  pour  sa  valeur 
1 + 2p^  d ^ 
Transportons-la  au  premier  membre,  et  nous  aurons 
^ ^ d p;  _ 
d[p‘^Y  ^ p^  (1  -F  p^)  d{p^)  * 
1 
4p^(l+j9 
2\2 
[E. 
l+{l+p^)sin^x 
\/l  -\-p^  8in^  X 
d’où  l’on  tire  facilement  la  formule  symbolique 
p^sinx.cosx 
[4^^  (1 
,2\2 
d‘^ 
+ A{l+p^){\  + 2p- 
d 
d(p^) 
+ 1 
]^,= 
= — sin-x.cos  x\/ 1 -\-p  ^ 
sin‘^x 
\/  1 8in‘^  X 
+\/l+p’^sin‘^x\.  (^,) 
Ce  résultat , nous  pouvons  le  différentier  n — 2 fois  par  rapport 
à ; dès  lors,  d’une  part  le  théorème  de  Leibnitz,  d’autre  part 
les  formules  déjà  employées  précédemment  nous  fournissent 
