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Sid Massimi delle Curve Dimorfiche 
10 dico che la {d), uell' intervallo x = 0, = h, tagliera la (c) in due punti D, 0 
compresi rispettivamente fra A e B, B q G, edi in essi soltanto. 
Infatti in piu di due punti non puo tagliarla perche se no 1' equazione 
R {x) = 0, che si ha considerando le intersezioni delle (c) e (d), avrebbe piu di due 
radici reali fra 0 e 6 contro ci6 che abbiam visto ; inoltre la (c) essendo continua, 
monodroina, continuamente crescente, deve tagliare il contorno chiuso AEBD in 
un numero pari di punti : ma essa taglia in un punto, od in un numero dispari di 
punti il lato AEB, onde dovra tagliare in un punto D anche 1' altro lato ADB. 
Nello stesso modo si dimostra la seconda intersezione in G. Siano x^, a;„„ le 
ascisse corrispondenti a queste due intersezioni : saranno le radici di R (x) = 0 
comprese fra 0 e b. Segue che : 
Gondizione necessaria perch^ la curva sia bimodale e cite la R (x) = 0 abbia due 
radici reali x^, x^^, fra 0 e b, e che per esse la successione dei segni di /(()), f{x„), 
fi^'w) abbia due variazioni. La seconda parte e giustificata dal fatto clie 
x < Xq < x", x" < Xqu < x" , 
perche nell' intervallo (0, h) le tre curve (i), (c), (rf) son sernpre crescenti : eosi in 
ciascuno degli intervalli (0, (*■„, x^^ cade una sola radice di f{x) = 0. Notiaino 
che y(0) = — kbe~^' e sempre negativo. 
Questa condizione e anche suffidente ; infatti se essa e soddisfatta, f{x), per la 
continuita, ammette una radice fra 0 ed x^, una seconda fra x^ ed x^, una terza fra 
a-Vio e b, poiche allora 1' unica possibile successione di segni e : 
/(O), fix,), fix J, fib) = b. 
- + - + 
Questo procedimento mostra anche che le curve dimorfiche non possono avere 
piu di due massimi, poiche la R ix) = 0 non puo ammettere piu di due radici reali 
fra 0 e b. 
11 caso limite fra la unimodalita e la bimodalita, cioe la curva con un flesso con 
tangente orizzontale si ha quando /(.»„) = 0 ovvero /(.r„„) = 0. 
Infatti allora deve aversi per lo stesso valore di x, corrispondente a due delle 
radici x', x" , x'" che vengono a coincidere : 
/(.) = 0. 
cioe nel punto corrispondente a questa ascissa la (6) deve tagliare tanto la (c) che 
la id), perci6 questo x dev' esser radice di Rix) = ^ : uno dei due nunieri x,, x^o. 
Si hanno due condizioni per il caso limite ifix^) = 0 ovvero / ix^) = 0) perche 
nella curva dimorfica il flesso con tangente orizzontale puo trovarsi a destra (Vedi 
fig. 6) od a sinistra del massimo, e nella figura 5 perche posson venire a coincidere 
i punti A e B, od i B e G. 
