270 Die Verallgemeinerung cler Cave-Hoohersche Metliode 
Grofien annehmen kann, so ist deren math. Erwartung als die Siunnie der Erwar- 
tungen aller dieser GroBen definiert. Wir werden hier die mathem. Erwartung 
iiberall durch das Symbol E { ) bezeichnen. E{A) ist also, z. B., gleich Atu. 
Die hauptsiichlichsteu Satze iiber raatheraatische Erwaitungen diirften als 
bekaaut angenouimen werden. Um aber die Nachpriifuiig der Formeln dieser 
Schrift zu erleichtern, werden wir hier die fiir uns wichtigsten Satze nocb kurz 
andeuten : 
(1) E(x + 7j-z + u-t...) = E(x) + E(y)-E{z) + Eiu)-E(t)... . 
(2) Wenn x, y, z, ... vou einauder unabhangig sind, so ist 
E{x.y.z....) = E{x).E{y).E{z).... 
(•S) E (k'x) = kE (x), wo k const, ist ; und daher auch : 
E (k) = k. 
(4) Wenn eine Variable X die Werte x^, x.,,...Xn annehmen kann, so ist 
die Wahrscheinlichkeit W, da6 die Differenz Xi — E{x) zwischen den Grenzen 
-a\/E{x'^)-{E{x)J und + a E {x") - [E {x)~f enthalten sei, groBer als 1 - ^> 
wo a groBer als 1 sein muB (ein Theorem von Tchebycheff). 
In unserer Untersuchung werden wir iiberall statt des wahrscheinlichsten 
Wertes einer GroBe deren niathematische Erwartung berechnen. 
Bestimnieu wir zuerst, wie sich der Korrelationskoeffizient zweier oscillierender 
Reihen verhalt, wenn man deren GroBen durch Differenzen /^'x, A"x, A"'x..., 
A'y, A"y, A"'y, ... ersetzt, und darauf untersuchen wir die Frage von den Grenzen 
der Anwendbarkeit der verallgemeinerten Cave-Hookerschen Methode. Um Raum 
zu sparen, werden wir nur die endgiltigen Resultate der Berechnungen anfiihren, 
ausgenommen die 3 ersten Formeln, deren Bestimmung als Beispiel der Rech- 
nungsmethode dienen moge. 
3. Definition. Unter einer oscillatorischen Reihe werden wir eine solche 
Reihe 
ly. /yt nr. . ni* 
it/j, «^3) •••) -^t, •••) 
verstehen, bei der 
E {x,) = E {x.^) = ...=E (xi) = ...=E (xn) = E{x) = const. 
und alle einzelneo Glieder von einander vollig unabhangig sind, so daB 
E (xiXj) = E (xi) . E (xj), wobei i 
Solchen Bedingungen wiirde zam Beispiel eine Reihe geniigen, deren Glieder 
die Resultate einer Versuchsreihe mit konstanter Wahrscheinlichkeit darstellen, 
etwa Resultate vou Ziehuogen aus einer Urue mit 7n weiBen und n schwarzen 
Kugeln. 
