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Miscellanea 
ce complement algebrique pent s'ecrire 
1 j^gi9.2--gt- j^u-h-i^ PtPi—Pk 
oil le determinant au mim^rateur est forme par les elements communs aiix lignes ... 
et anx colonnes q^, q,-,, ... du determinant R (2). 
Done a^-=(-l)'"'' (19). 
i2 
On pourra d'ailleurs eviter la consideration du nombre des inversions en substituant a 
un determinant dont la diagonale principale consiste des elements 
'Pk"k' 
et que nous designerons en echangeant la lettre R contra Q. Permutons, en effet, dans le deter- 
minant Q des lignes ou des colonnes: on ne change que le signe. Les indices du determinant R 
n'ayant pas d'inversion, on voit que 
On aiii-a done enfin 
q,q,...qj. _ 
PiP2---Pk^ 
-1) 
,(Ii<li---Qk 
p,p.,...Pk' 
flxQi — Qk 
Otl 
?a„ , dap q 
'i^i '2^2 
(flxQi-'-Qk . 
P,Pi---Pk 
.(20), 
.(21). 
'/."l l'k"2 "//'it 
Si deux des nombres p (ou des q) sont egaux, le determinant (21) contiendra deux lignes 
(ou colonnes) egales: il s'evanouira; et, en effet, la derivee seconde d'un determinant par rapport 
a deux elements appartenant a la meme ligne (ou a la meme colonne) est nulle. 
La derivee sym^trique du A-ieme ordre consistera d'apres (12) de 2* d^rivees simples, telles 
que (20). On les trouvera en faisant changer de place les p et les q a meme indice de toutes les 
manieres possibles. En designant ces changements par S, on aura 
D'"-' =l,S (Q"'"'' ] 
P>Q„P2Qi---Pk1k R PiPi---Pk' 
.(22). 
II faut remarquer que le terme forme de la diagonale principale de (21) se reproduira une fois 
et une seule dans chaque derivee simple; il y en aura 2'' dans la derivee (22). 
5. Revenons a I'expression (L5). Elle va se simplifier. Tout d'abord 
20 = ^D. 
Puis, considerons un terme dans ; soit par exemple 
^("i) Di'h) J)i''li) 
.(23) 
D 
D'apres (22) 
(n) 
'Pa,1a,'Pa,<la,-Pa„'la„ <la,(la,--aa„ 
D " \ Pa,Pa..--'Pa, 
C'est un polynome en r, homogene et de I'ordre ??. 
Cela etant, on voit aisement que I'expression (2.3). homogene aussi, est de I'oi-dre 
»i + v., + ... + ??, = /,•. 
