Misrellanea 
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Le terme r,,^^^ , r,,^,^ . . . , r,,^,,^ (24) 
y aura le coefficient 2"' ••+"' = 2*-. 
Done le terme (24) obtiendra dans sjj. le coefficient q\ ■ 
Gen6ralement, en mettant dans I'expression (15), on voit qu'ellc est une fonction liomogene 
de Tordre k en r. 
La nature du probleme exige que cette fonction est aussi symetrique. 
Permutons, en effet, les indices du premier membre de (15); le result at ne devant pas changer 
pour cela, le terme (24), y permutes les indices de la meme maniere, conserve le meme coefficient. 
0. II ne nous faut done considercr qu'un send terme de (15), soit (24). 
Ce coefficient est 
(2/.: -\)\\gl- {2k - 3) ! : 2^-^ + (2/.- - 5) ! ! 2^ (jI"^ - ... ±2''^-^ ry^ 
i = k 
= 2 
( = 1 
Je dis que cette exjyre-ssion est e'gale n V unite, quel que soit k. 
Je vais employer le raisonnement par recurrence. 
L'assertion etant evidente pour Ic = 1, je la suppose demontree pour /.■, et nous allons voir 
qu'elle subsistera encore pour k + 1, c'est-a-dire que I'expression 
I'-fc + l i._;4.9 
2 ( - 1 ) [2k - 2*: + 3) ! ! 2'- 1 f/,. I 1 
l)'-M2/.'-2i + l)!!2'-ir,^ '"^^ 
sera egale a 1' unite, 
Envisageons d'abord les nombres . 
Cherchons c'^ supposant connu g^^. 
Ou I'element (n + l)ieme doit etre place dans I'un des / groupcs formes de n elements: il y en a 
eventuahtes . 
Ou cet element seul doit fairc un gronpe: les autres elements formant alors (t - 1) groupcs: on 
aura ainsi 
i-1 
9« 
eventualites. 
D'oii la formnle '?' ,,= 'V/' + ^ 
En convenant que f/"^^ = 0, r/" = 0, 
^ ■' n •'n 
cette formule subsiste encore pour 
i = 11 + \ 
et i = 1 . 
L'expression (26) pent s'ecrire maintenant, en vertu de (27), 
2 ( -l)'-i (2/,'-2i + 3) !! 2'-J !(/,•-/ + 2) r/f ~'+Vr/^^"'+^l 
i = l ■ ''■ 
k-i+2 
= 2 (-l)'-i(2/,'-2/ + 3)!!2''-i (/.:-i + 2)r7, 
( = 2 . 
+ ' 2 '( - l)'-i (2^- - 2? + 3) ! ! 2' ~ 1 f/f "'"^^ 
1 = 1 
Changeant dans la premiere somme i en (?' +1), on trouvera enfin pour (2(1) 
i = k 
2 (- l)'-i (2Z'-2/+l)!!2'-i {-2 {k-i + l) + (2/,--2(+3)] r/f"'+^ 
1 = 1 
Ce n'est autre chose que (25); done la somme (2fi) est bien egale a Fimite. c.Q.F.n. 
