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denlemenle con H^. Poiché ora (p) si è dimostrato dover essere permulabile con o- 
gni operiizione fra lf o), ?/,..,, v , indipendentetiìente dal valore di p , è chiaro che di 
questa permiitabililà dovrà godere ognuna delle n operazioni 
(5) K.,K,,...,K„ = H„ 
che si presentono come coefficienti del precedente sviluppo. Queste operazioni, come 
inimedialamenle risulla dall' ispezione del determin.inle (.1), sono risp. nelle ope- 
razioni elementari D^^, D^^ , . . . , del grado complessivo 1, 2, . . . , n e sono fra di 
loro linearmente indipendenti. Si vede dunque che il sistema delle operazioni (5), od 
il suo equivalente (4) , dovrà equivalere Imearmente al sistema delle n operazioni 
(6) , H, , . . . , H„ 
trovate al paragrafo prec; poiché, per quanto si é stabilito in quel paragrafo, ognuna 
delle operazioni (5), essendo permulabile a tulle le operazioni fra le a;, ?/,..,, u , do- 
vrà potersi esprimete in funzione lineate a coefGcienli costanti delle (6). E quindi , 
reciprocamente, ognuna delle (G) dovrà esprimersi similmente in funzione delle n ope- 
razioni (5). Abbiamo così nelle (4), (5) e (6) risp. Ire differenti modi di costruire il siste- 
ma fondamentale delie operazioni permutabili con tutte le operazioni fra /e x, y , . . . , v. 
5, Supponiamo ora per semplicità ji=i:n, cioè che ognuna delle n serie 
07,?/, . . . , u contenga 7i sole variabili , e consideriamo l'operazione di Cayley 
2, D D D D 
^^l ^^3 
la quale, come è noto, é permulabile con tutte le operazioni elementari D^^ formate con 
due serie p , q scelle comunque fra le ce, ?/, . . . , purché distinte fra loro. Che se in- 
vece di O si consideri l'operazione 
(xi/ . . .v) Ai, 
essa sarà permulabile con ogni operazione composta comunque colle D^^, D^^, . . . . 
Della stessa permulabililà godrà quindi anche, come immediatamente si riconosce, 
l'operazione 
(8) Q„ = (xtj . . . V)". iì' 
e noi ci proponiamo ora di dimostrare come questa operazione si |)ossa effetlivamente 
esprimere per mezzo delle n operazioni di uno dei sistemi fondamenlali a cui siamo 
pervenuti negli articoli precedenti. 
Cominciamo dal notare che per h z=z \ si ha , come é nolo, 
