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onde anche, sostituendo in luogo della funzione arbitraria /"la funzione D^^/", 
{xy...v). H„(p + 1) . D^^ . f=lljp) \ (xij...v). D,JÌ= 
(3) 
= H„(p).D^,. j(xr/...^>)/■j. 
Ma, essendo per ipotesi (p) permutabile a D^^ , si può scrivere 
H„(p) • (^z/ • • • ^0^1 = 1^,, ■K{p)\(^y--- v)f\ 
ed anche, applicando nuovamente la (2), 
H„(p) . \(xy... v) /-j =D^J (^y . . . t;) . (H„p+ 1)/ j 
Sostituendo ora questo risultiito nella (3), si ha 
{xy . . . r) . H„(p + 1) . D^^ . f=(xy . . . v) . D^^ . H„ (p + 1) . / 
o anche 
2/ . . . . j [H„ (p + 1) . D^, - D,, H„ (p + 1)] /• j = 0 . 
Poiché ora il fattore (cdìj . . .v) non è evidentemente nullo, dovrà esserlo il secondo 
fattore del primo membro, cioè si avrà, essendo /"funzione arbitraria , 
H„(p + l).D,, = D,„^.H„{p + l), 
con che resta stabilito che anche l'operazione H„ (p -j- I) sarà permutabile con ogni 
altra operazione fra le a? , y, . . . , 
3. Poiché ora l'operazione H_ (0) = H^^^ . é efTettivamenle permutabile, 
come sappiamo, con ogni altra fra le a? ,?/,..., u, ne consegue, in virtù del lemma 
ora dimostrato, che lo sarà del pai'i l'operazione H„ (1); quindi, sempre in virtù dello 
stesso lemma, lo saranno tutle le operazioni H„ (2) , (3) , . . . . L'operazione gene- 
rale H„ (p) godrà dunque di tale permutabilità |)er lulli i valori interi e positivi di p, e 
quindi, per un noto principio algebrico, essendo (p) del grado limitalo 7i rispetto a 
p, dovrà godere della stessa permutabilità per ogni valore di p, come appunto volcvasi 
dimostrare. 
Ed invero, applicando la noia formola d'interpolazione di La grange, ogni opera- 
zione (p) si potrà esprimere in funzione lineare a coefficienti costanti di n -f- I fra 
esse, per esen)|)io in funzione delle 7i -\- 1 operazioni 
1 , II„(0) . H„(I),. . . ,H„0/-1),- 
che si ottengono dando a p i valori 0 , 1 , 2 , , . . , n — 1 . 
4. Sia 
H„ (P) = p" P"-'. K, + p"-. K, + . . . + p . K„_, + K,. 
lo sviluppo di H„ Cp) secondo le potenze discendenti di p. I coefficienti K, , Kj, . . . . K„ 
saranno altrettante operazioni fra le a;, y, . . . , l'ultima delle quali coinciderà evi- 
