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III. 
1. Abbiamo dimoslnilo ollrove *) che l'operazione H^y, • . • da noi designala 
nel § prec. con H , viene espressa mediante le operazioni elementari D^^ , D^^,, , . . 
dal determinante 
XX 
•• D^ 
• • K- 
D 
D . . 4- 2 . 
Dr. • 
••I>,,+ (n-l) 
da svilupparsi in modo che gli ii fattori operativi, di cui si compone ogni termine dello 
sviluppo, si seguano da destra a sinistra nello slesso ordine secondo il quale si trovano 
scritti nelle rispettive colonne del determinante di cui fanno p.ute, contate del pari da 
destra verso sinistra. Consideriamo ora l'operazione analoga più generale 
(1) H„(p) = 
D. 
D. 
D 
D 
D. 
yv 
D.. + («-l) + p 
in cui p è un parametro da determinarsi ad arbitrio, cosicché sarà in particolare per 
H„(0)=:H„. 
Ci proponiamo di dimostrare che l'operazione fp) è permutabile con ogni operazio- 
ne fra /ex, y , • . • , v comunque si fissi il valore del parametro p. 
2. A tale oggetto comincieremo dal dimostrare che se l'operazione H,, (p) è per- 
mutabile con ogni altra fra le a-, y , . . . , u , anche l'operazione B„ (p -L 1) lo sarà del 
pari. E poiché (p ì) è evidentemente permutabile alle operazioni D^^, D^j^,...,D^ 
ad indici eguali , basterà dimostrare che essa è permutabile ad ogni operazione ele- 
mentare , in cui p e q siano due serie diverse di variiibili scelte comunque fra le 
X, y,. . . , V. 
Se indichiamo per brevità con (x, y,. . .,v) il determinante 
^±x,y, . . . i-„ 
il quale è annullato da ogni operazione D^^ ad indici distinti, e con f una funzione arbi- 
traria delle serie di variabili ,;/,..., u, si ha evidentemente 
(2) 
H„ (p) .]{xi/...v).f>z= {xy . . . r) . H„ (p -f I) . / , 
*) Ueber die Zuruelifuhrung (ter Caylcy schen Operation i\ aiif gewòhnlìche Poìar-Operatioìicn 
(Matliematische Annalen, Band XXIX. Leipzig 1887). 
