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Si vede dunque che fra le n serie di vìi riabili a?, ?/,3, . . . ,u si hanno così n ope- 
razioni, ciascuna delle quali è pei rautabile a tulle le altre operazioni fra le slesse serie, 
cioè le n operazioni (olire all'operazione Ho = 1) 
H, = D 4-D +D +...-4-D 
= ^xyz + ^xyt + ^xyv + • • • 
le quali è facile riconoscere essere fra loro linearmente indipendenti per mezzo dei cri- 
teri j^enerali, da noi stabiliti altrove*), relativamente alle identità che possono aver 
luogo (Va le operazioni. Supposto infatti, se è possibile, che sussistesse una relazione 
e coefficienti costanti della forma 
«X • Hj. + a,._j . H,_, -f . . . -'p a, . 4- a, . n, -|- «0 = 0 , 
considerando che nel primo membro i termini di grado [)iù alto nelle operazioni ele- 
mentari D^^, D^j,,.,., SODO tulli compresi in H **), se ne dedurrebbe agevolmente, in 
base a quei criterii, dover essere «j. = 0. Dall'identità residua 
«x-i • ^x-i + • • • -f «1 • Hj + «0 = 0 ' 
si dedurrebbe quindi similmenle a^_^=zO, e così di seguito. 
3. Ciò posto, ci proponiamo ora di dimostrare che l' operazione più generale (di 
grado non superiore al primo rispetto ad ogni indice di derivazione) , che indicheremo con 
Q, permutabile con ogni altra operazione fra le stesse n serie x, y, z, t,..., v, altro 
non è che una combinazione lineare 
a coefficienti costanti, delle n operazioni speciali sopra trovale. 
A tale oggetto cominciamo dall'osservare che, introducendo n serie di variabili au- 
siliarie |,Yi,^,T,...,(o,e sostituendo, nel senso noto di operare sempre su funzioni 
indipendenti dalle 4, tq, w, in luogo di D^^ il prodotto equivalente D^^ D^j, in 
luogo di Y)^^ l'equivalente D^^ D^^ ecc., e quindi permutando opportunamente col noto 
metodo, in ogni termine di Q l'ordine delle operazioni elementari, si potrà scrivere 
Q sotto la forma 
Q = Q„ + Q.-f Q,+ ... + Q„, 
*) Sopra le relazioni cJie possono aver luogo identicamente fra le operazioni invariantive (Ren- 
diconto della E. Acc. di Napoli. Giugno 1887). 
*') Cfr. anche l'espressione della H in funzione diretta delle D^^ , D^,... citata al § 111. di 
questa Memoria. 
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