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Ma è facile riconoscere che si ha, scambiando fra loro, come è sempre lecito, le 
variabili ausiliarie da eliminarsi è ed tq, 
dove il determinante del secondo membro altro non è che uno dei due determinanti nei 
quali si decompone (corrispondentemente alla decomposizione in due parli fatta negli 
elementi della prima colonna) il secondo dei due determinanti che si trovano nel secon- 
do membro di (1). Perciò la (1) si riduce a 
^^y • (^!,zt •••-., + H^jt •••,<) 
n 
\ 
+ 
D 
D 
4» 
cioè appunto ci dà 
2. Se ora formiamo l'operazione 
xyì ' ' ' u ' 
dove la sommatoria del secondo membro va estesa a tutti i gruppi di k lettere a?, y , 
z, . . , w, che si possono formare con le n lettere a?, z, . . , u rappresentanti le n serie 
di variabili, è facile riconoscere che l'operazione H^sarà permutabile con ogni altra o- 
perazione fra le slesse n serie di variabili ce , ?/ , z , . . . , v. Sia infatti D^^^ un' operazione 
eleuìentare qualunque (p diverso da q) fra le ;? serie oo ,y , z . . , v. Quei termini della 
sommatoria che non dipendono nò da p nò da ovvero contengono simuìlancamenle 
p G q sono permutabili, come sappiamo, ciascuno di per sé, con D^^. Quanto ai rima- 
nenti termini, essi potranno evidentemente aggrupparsi in tante coppie della forma 
ed allora ogni coppia sarà permutabile a I)^^ in virtù di quanto si è dimostrato all'ari, 
prcccdenle. Perciò l'intera operazione II,, sarà permutabile a D^^. Essa è |)oi evidente- 
mente permutabile alle operazioni della forma D^^, poiché lo è già evidentemente ogni 
suo singolo termine; onde essa sarà permutabile, secondo l'asserto, con ogni opera- 
zione fra le n serie date. 
