serie a?, y di variabili; senoncbè il metodo, del tutto speciale a tale caso, di cui ci 
siamo serviti in quella Nota , diffìcilmente potrebbe estendersi ad un numero maggiore 
di serie di variabili. Colla presente Memoria verremo pertanto ad esporre nuovi me- 
todi che ci permetteranno di proseguire nella stessa ricerca per il caso di tre o più 
serie di variabili. Nel primo paragrafo tratteremo il caso di Ire serie di variabili con 
un primo metodo, il quale, abbastanza semplice per questo caso, riuscirebbe in se- 
guito forse troppo complicato. Onde col secondo paragrafo riprenderemo la questione 
con un secondo metodo applicabile indistintamente ad un numero qualsivoglia di se- 
rie di variabili. 
I. 
1. Incominciando dal caso di tre serie ce, y, % di variabili , limiteremo innanzi lutto 
il problema a determinare quali siano le operazioni fra queste variabili permutabili con 
ogni altra fra le slesse variabili, le quali (analogamente alle due operazioni che nella 
Nota sopra citala abbiamo dimostrato risolvere il problema pel caso di due sole serie*), 
godono della proprietà di contenere in ogni termine della loro espressione una sola 
derivazione, al più, rispetto ad ognuna delle tre serie di variabili. Per un noto teore- 
ma fondamentale **), ogni cosiffatta operazione sarà necessariamente una funzione 
lineare a coefficienti costanti delle 15 operazioni seguenti: 
(C)| 
j D., • 
1 ^xy ' 
, D . D 
Poiché le operazioni comprese in ognuno dei gruppi (a), (b) , (c) si deducono da 
una di esse mediante permutazioni fra le lettere ce, t/, z, le quali non possono alterare 
un'operazione 0 che goda della proprietà voluta di permutabilità [giacché si é altrove 
dimostrato ***) che una siffatta operazione é sempre simmetrica nelle oj, y, z], é facile 
vedere primieramente che in luogo delle tre operazioni (a) basterà considerare la loro 
somma. E poiché questa somma differisce dalla nota operazione 
H„ . , . , = H3 = D,^ l>,, D,, + D^, D,, D,^ - 
- D., K - ^yy T^z. - ^y. 
- ^yz ^zy - D., H- D.. ^yy D„ -f I).. T^zz + 2 ^\y D,, + 2 D„ 
•) Cioè le due operazioni 
ed ^=^x. + ^yy 
") Fondamenti di una teoria generale delle forme algebriche, § I. {Memorie delle R. Acc. dei 
Lincei, voi. XII). 
"*) Sopra la permutabilità delle operazioni invariantive (Rendiconti della R. Acc. di Napoli, 1886), 
