S'acheminant par cette direction qui n'est que apparemment la moins accessible, 
M/ C r e m 0 n a a abordé le probième. 
Lorsqu'on passe dii chanip binaire au cbamp lernaire les deux doinaiiies reslant 
encore difTérents, le probième acquierl une extension bien plus grande, par ce que les 
nouveaux éléinenls que l'on doit considérer exigent aussi de nouveaux points de vue: 
ainsi par exeinple les ressources de l'algèbre n'ont pas encore élé appliquées à la que- 
slion. Et si l'on fail coincider les deux plans, cela donne origine à une foule de problèriies 
nouveaux el oi iginaux sur les Iransfornialions isolées aussi bien que sur les systèmes 
de Iransfornialions, problènies, doni quelques uns seulenienl ont élé menlionnés ou 
abordés jusqu'à présenl. 
Un de ces problèines el — suivant mon opinion — un des plus imporlanls, probiè- 
me fondatnenlal et de nombrenses applicalions, est celui , que l'illustre Académie a 
bien voulu proposer aux géomèlres el qu'on peut exprimer en ces termes : 
« En considéranl la Iransformalion biralionneile enlre deux plans coincidenls , 
irouver les conditions et conslruire la Iransformalion de manière qu'en appliquanl la 
nìéme Iransformalion plusieurs fois de suite, on retourne à la figure, doni on est parti ». 
De ces Iransformations pcn'odiques les suivantes soni connues jusqu'a ce moment: 
1. Les homographies périodiques. 
2. Les Iransfornialions périodiques à l'indice 2 de la périodicilé. 
3. Quelques classes de Iransfoiraalions quadraliques à un indice arbilraire de 
la périodicilé. 
Les Iransfornialions 2, qui soni au seuil de la Ihéorie, mais qui méme ne soni 
pas nécessaires à son développemenl, ont été éludiées par M. Berlini; et un travail 
de M. Kantor se rapporle, avec d'autres Iravaux analogues, aux Iransfornialions 3. 
Dans ce dernier travail se Irouve éiioncé avec loule la clarlé un principe, qui sera 
beaucoup ulilisé dans ce Ménioire, On Irouvera, en efTel, qu'il répond entièremenl à notre 
question pour ce qui se rapporto seulenienl à la possibililé de la périodicilé : et, com- 
biné avec d'autres idées, il peut résoudre complètement le probième. 
Les Iravaux, qui soni relalifs aux Iransfornialions de ces trois classes et y ont ap- 
porté des contribulions plus ou moins singulières , soni cilés dans le tableau suivant: 
B. , . . . B a 1 1 a g I i n i — Sulle involuzioni dei diversi ordini. Atli di Napoli I, li, IH. 
Bt. 1 Berlini — Sopra una classe di trasformazioni univoche involutorie. 
Ann. di Mal. Vili, p. 11. 
Bl. 2 £ — Ricerche sulle trasformazioni univoche involutorie nel pia- 
no. Ann. di Mal. Vili, p. 244. 
Bl. 3 » — Sulle trasformazioni univoche ed in particolare sulle invo- 
lutorie. IVendiconti deirislilulo Lombardo 1880, p. 443. 
C Caporali — Sulle trasformazioni univoche involutorie. Rend. di Na- 
poli 1879. 
K. 1 Ka n lo r — Wie viete cyclische Gruppen gibt es in ciner quadratischen 
Transformation der Ebene? Beanlwortumj derselben Frage 
fiir Cremonasche Trans formationen. Ann. di Mal. l. X, 
p. Hi. 
K . 2 » — Uber successive lineare Transformationen.yK\QV\QV S\Ì7MX\2^?,' 
berichte, 82 Bd., p. 39. 
