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HOMOCtRAPHIES périodiques 
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1 1. — Caractères — Espèces. 
Pour la nature d'une homographie, qui lie ensemble les éléments du méme pian, 
les trois points doubles qui existent ont une signifìcation décisive. On les détermi- 
ne par le discriminant de l'homographie, en égalant à zèro l'éxpression 
«11 — P «12 • «13 
«21 «22 — P «23 ; 
«31 «32 «33 — P 
deux ou trois racines p égales conviennent à l'éxistence d' un triple biponctuel ou uni- 
ponctuel, corame on peut le designer. Ces deux cas sont à exclure, car le point doublé 
auquel un autre est infiniment voisin porte une bomographie de rayons avec deux élé- 
ments doubles coincidents, qui n'est jamais périodique. On tire la méme conclusion 
aussi des formules connues en coordonnés cartésiennes 
X =ax ; a; = x-{- a 
y' = y-\-ò ; y' = y -\- bx . 
Elles donnent pour le n'^"'^ transformé les équations 
x'^'^aa; ; x"''> = x na 
y^"^ = yJrnb ; y^-^^ = y bx -\- (l) ab , 
quon ne peut jamais vériSer pour x^"^ = x , y^"^ z=y. 
Reste dono le cas de trois points doubles isolés, celui compris, où il y en a une infi- 
nité. Chacun des points doubles porte une bomographie de rayons jouissant d'un inva- 
riant absolu. Ces trois valeurs, caractéristiques qu'clles sont pour l'homographie ternai- 
re, doivent en étre appelées les invariants absolus *). On voit aisément, que deux seu- 
lement d'elles sont indépendantes. Car si , p\ désignent deux points correspondants, 
rfi, (ij, ^3 les trois points doubles et si p^d^ , p^d^ , p^d^ , p\d^ , p^d^ , rencon- 
■) Voir rapplication conséquente de cette notion dans le Mémoire K. 4. 
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