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trent les cólcs respeclivement opposés en ^, , t^, , s ' '^'i i '^'i ■> '^'s P''^'' Ihéorème de 
Ce va , on a 
-r.^d, T.,d^ T.,d, ^ _ ^ r.\ (7, ^ 7:^/3 ^ ^r'gC^, ^ _ ^ 
d'où par division s'ensuit celle relation enlre les Irois rapports anharmoniques , , ^3 
des trois liomographies: 
X, X, X3 = 1 . 
L'homographie périodique a les rapports anharmoniques égaux à des 
racines de l'unilé. Supposons qu'ils soient des racines primitives des dégrés 1^,1^^^. 
Toul rayon passanl en (/, relourne après /, , tout rayon par cl^ après /, Iransforraalions 
en lui-niéme; donc toul poinl du pian relourne après un nombre ti de Iransformalions, n 
étant le plus petit multiple commun de 1^,1^' 
Une homographie sera dite périodique à l'indice n cu brièvement douée de l'indi- 
ce n, si on ne relorabe sur un point quelconque du pian qu'après n applications. A 
cause des propriétés des homographies binaires se trouve immédialemenl le ihéorème 
suivant : 
Quand il y a un seiìl point libre *) du pian, qui rélourne après n transformations, 
l'homographie est périodique à l'indice n. 
Des points , qui déjà après /" transformations se reproduisent, où f est necessaire- 
ment un facteur de 72, ne peuvent exister que sur les droiles doubles. Les trois nombres 
/•,,/;, soni égaux à , , Z3 . 
2. Les trois points doubles étant donnés s'offre le problème: Chercher tous les 
points qu'on doitprendre comme premiers transformés d'un poinl donné jj^ pour obtenir 
une périodicilé homographique. 
En se bornant aux homographies d'indice ?i.on construira en di les droiles qui dé- 
terminent avec rf, un rapport anharmonique égal à une racine n'^''^de l'unilé, les droi- 
les rf, dì , rf, d^ élant prises comme droiles doubles. On fera la méme chose en d^ et 
obliendra, outre , ?i« — 1 points d'intersection par lesquels passeront aussi les n droi- 
les provenanl analoguement de d^p^. 
Farmi les 1 points on a les transformés de p^ par les homographies à un in- 
dice f^ , facleur de 7i. Par des operations arilhméliques il s'ensuit que le nombre de ceux, 
qui soni périodiques à l'indice 7i, est 
où «=/-,"vr^..-/; 
Quand p, p,. ..p^ est un cycle d'une des n* homographies, une homographie pé- 
riodique est encore déterminéc par le couple pp^"'\ donc : 
Le groupe des n- j^oitils dintersection contieni non seulement les premiers transfor- 
més, mais aussi tous les cycles émananl de p, dans les diverses homographies périodiques. 
Mais si z,^ t,^ e^^ composent une homographie périodique, 
2 'S '1 '3 
*) C'est-à-dire non situé dans une droite doublé. 
