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Cesi dans ce Iraviiil qu'on Iroiivera indiquées aussi pour la première fois des cour- 
bes inallérables, par une trausformation de dégré supérieur. Comparez, p. e. , le § 5 de 
la 2^ partie. 
Las Iransformalions linéaires admeltent la forme canonique 
£ désignant une racine de l'unilé et i un nombre entier. L'équalion d'une courbe anallag- 
matique prend la forme 
aa;,'"4" ^^2"'-r T^3"'+ . . . = 0 . 
Par la transformalion le premier terme se multiplie par X"", donc chaque terme 
doit se niulliplier par X'^t^", \). étant un nombre entier et positif, et l'équation ne pourra 
contenir que les termes de cette forme 
qui se mulliplient par X'" s' e^', donc 
X^'e'eP'r^r £i^" , 
ou plus généralement 
a ^2 = ?• mod n . 
Pour qu'une solution de cette congruence convìenne à notre question, il faut que 
m . 
Cela donne origine à divers types d'équations, en faisant parcourir à r toutes les va- 
leurs de 0 à w — 1 . 
La variété des courbes qui se réproduisent par l'homographie donnée est im- 
mense, mais par celle méthode on parvienl à trouver les courbes douées de la moin- 
dre particularisation qu'il faut et qui sufBt, afin que la courbe soit transformée en soi- 
méme par l'homographie. Il faut élre altentif, dans l'application, entre autres à ces 
points de vue. 
1. On obtient par celle mélhode des courbes anallagmatiques sans aucune sin- 
gularilé. 
2. On obtient toutes les particularisations possibles de ces courbes en suppri- 
manl les termes convenablcs dans l'équation de la courbe qui renferme toutes les solu- 
lions de la congruence délerminante. • 
3. En opérant géométriquement on doit distinguer les cas w ^ n.C'est parce que 
les points communs de C,„ et d'une droite doublé forment nécessairement des groupes 
homographi(iucment périodiques, en lant qu'ils ne se confondent avec les points dou- 
blcs *). 
4. Pour i — n — 1 on tombe sur un cas parliculier, où tous les groupes homogra- 
pliifjues soni distribués sur des coniques par d^d^. Les courbes anallagmatiques d'or- 
■) La considératioii géouiétriquu est upiilicablu à tous les cas; toutefois elle est pónible dans les cas coiupliqués. 
