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dren, qui apparliennenl à celle transforniation soni d'un inlérét special. Voici leur 
équalion 
n— I «—1 
a^x"-\- a.,x^"-]- a.Xs"-{- b^x,r^x"~--\- ò.^^^^ x^- a-"'*-}- . + ^ ^x,^ x^^ a-, = 0 , « impair 
et 
a^x^"-}-a^x^"-\-a^x^"-{~ò^x^x^x^"~■-\- ò.,X2^x^-x"~^ -\- . . . -j-b^ y,'^,- =0 , « pair . 
t" 
Je ferai observer que généralement: 
Toutes les courbes d'ordre n, qui etani du mème type liléral soni transformées 
en soi-niémes par des Iransfurmalions linéuires forraent un syslènie linéaire. 
5. Par la discussion de la conj^ruence fondamentale on Irouve pour une valeur 
donnée de 7i une limite inférieure de m. Il peut donc arriver que des courbes d'ordre 7n, 
qui soient réproduiles dans une liomographie à l'indice n^m, n'exislent pas. Pour 
lerminer je citerai un théorème, qui est un cas particulier d'un autre plus général : Quand 
une courbe C,^ p> 1 sans aucune singularité, c'est a dire la plus générale de son genre, 
admet une correspondance univoque interne , celle-ci doit étre contenue dans une 
homographie du pian. 
I 3, — HomograpMes , qui peuvent transformer une cubique en soi-méme. 
En voici l'énumération complète: 
I. Une courbe douée d'un rapport arbitraire des périodes est transformée en soi- 
méme : 
1. Par 9 homologies d'indice 2, doni chacune a un poinl d'inflexion et sa polaire 
harraonique comme centre et axe d'homologie. 
2. Par 8 liomographies d'indice 3, dont chacune appartieni à un triangle d'infle- 
xion comme triple doublé, et contieni la serie correspondanle de triples d'inflexion. 
II. On doit ajouter pour la courbe harmonique : 
i8 homographies d'indice i, dont chacune possède deus points doubles sur la cu- 
bique C3 elle-méme. L'un d'eux est un poinl d'inflexion, l'aulre le point de contact de la 
tangente menée du poinl d'inflexion et conjuguée harmoniquement à la tangente d'in- 
flexion. 
Afin d'en démontrer l'existence, la considération suivante nous peut servir. Soil 
a^a,a^a^\in quadrangle compiei. Les cubiques,quisont langenles respectivemenl en a, , «„, 
a , a. aux cólés a a , a„a, , a, a, , a, a forment un faisceau. Deux courbes de ce faisceau 
soni a^aj-l-'^ofi^-rfl, ^4 ^0^3+ ^'3^i4~ ^1 donc le neuvième poinl base se Irouve 
dans le poinl d'interseclion d^ de a^a^ et «3 a,. Puisque a, soni les points tangen- 
liels de a, ,«3, le poinl langentiel de d^ tombe sur rf, , qui est un point d'inflexion pour 
toutes les courbes du faisceau. La polaire harmonique de ce point est selon les proprié- 
lés du quadrangle la droile, qui joigne S^^(a^a^^ «3(1^ à S^^(a,a^^ '^t'^^)' '^^ mème pour 
toutes les C,. L'homographie d'indice 4 qui Iransforme a en a„ en a en a en a a un 
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point doublé en rf^ , et les deux aulres points doubles d^, d^ sur la droile 5,^3. Elle per- 
mute eulre elles les cubiques du faisceau et en particulier elle reproduil les deux cour- 
bes qui passent en ou d^ . Pour une pareille courbe l'une des trois langenles menécs 
