Toule courbe de ce faisceau est anallagmalique, ce que l'on conclùt de l'involution 
produile sur rf, . 
IV. Dans celle recherche Ics cubigues rationnelles soni à considérer commedégéné- 
ralions, la cubique à point doublé se déduisant de la courbe harmonique, la cubique à 
rébroussenient de la courbe équianharmonique. Mais on prouve aussi direclement que 
1. Cs^ admel: 3 homologies d'indice 2 appartenant aux trois poinls d'inflexion 
comme centres; 1 bomographie d'indice 3, qui a le seul triangle d'inflexion (impropre) 
comme triple doublé; 6 bomograpbies d'indice 4. Ces dernières permutent ensemble 
les deux tangenles du point doublé, et cbacune deux cerlains poinls d'inflexion tandis 
que le troisiòme est inallérable. 
2. Cs' admet une infinilé d'homograpbies, loules ayant le point de rébrousse- 
nient, le point d'inflexion et leurs tangentes pour é'éments doubles. 
Je vais illustrer la raélbode inlroduite dans le § 2 par un exemple, en l'appliquant 
à la recherche de toutes les cubiques, qui soni anallagraatiques dans quelque bomogra- 
phie périodique. 
Pour n=z2 on a a-{-^=r, mod. 2 : 
r — 0 a = 0 , i3 = 0 ; a = 0 , p = 2 ; « = 1 , ; a = 2 , j3 = 0 ; 
r=l « = 0,13 = 1 ; « = 0,^ = 3 ; a = l,j3 = 0 ; a=l,^ = 2 ; a=2,p = l ; a = 3,^=0. 
De là on lire ces équations 
a?,^ + ^2 ^3 ^1 ~h ^2^ ^1 + ^3^ ^1 = ^1 ('^1^ + ^2° ^3 + + ^2 ^s) = ^ 
et 
^3+^2'==0- 
La séconde pourvue de coefilcients représente une courbe, qui dans x^^O , x^zzzO 
a un point d'inflexion. 
Pour n=3 on a a + 2i3=r mod, 3, quand il s'agii d'homograpbies propres : 
r = 0 
r — l 
r = 2 
a = 0,p = 0 ; a = 0,p = 3 ; « = 1,^ = 1 ; a = 3,p = 0 
a = 0,P = 2;« = l,p = 0;« = 2,p = l ; 
a=:0,p = l ; a = l,p = 2 ; « = 2,^ = 0 . 
Les équations ~ 
représentent des cubiques doni l'une a d„ d^ corame triangle Hessien, les deux aulres 
soni équianharmoniques et in-et circonscritcs à d^djl^. Le determinant Hessien con- 
duit à un triple conjugué par rapport à d^ d^ d^. 
