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a ~ 3 ^ = r, mod. 6: 
r = 0 a = 0,,£ = 0; a = 0,^ = 2 
r = l « = 1 , p = 0 ; a=l , 8^2 
r=2 «=2,^=0; 
r = 3 a = 0,. 5 = 1;» = 0,5 = 3 a = 3,3=iO. 
Voici (Ione une seule cubique anallagmatique 
elle est équianharmonique et a le poinl d'inflexion x,—0 , x^znzO et x^z=zO pour polaire 
barmoDique correspondaDle. 
§ 4. — Faisceaux de courbes transfonnés en soi-mémes. 
Si l'on a deux courbes, dont la forme Ulérale a élé établie par la mème congruen- 
ce du § 2, et qui diffèrent entre elles par les valeurs de leurs coefficienls , par combi- 
naison linéaire on en peut engendrer une courbe nouvellequi possède la mèrae coraposition 
lilérale et sera par suite réproduite par la méme homographie. Les deux courbes don- 
nent ainsi origine à un faisceau dont chaque courbe se transforme en soi-méme. 
Un principe encore plus utile est le suivant: Si un faisceau de courbes doit ètre 
transformé en soi-méme, il faut que la base du faisceau soit complètement transfor- 
mée en soi-méme, savoir qu'elle se compose de cycles et de points doubles de l'homo- 
graphie. De là je tire l'énoncé suivant de la règie la plus générale pour la construction 
de faisceaux anallagmatiques: 
Quand on prend un certain nombre de cycles de Vhomographie périodìque et on ajoute 
des muUiplicités dans les trois points doubles , de sorte que le nombre m (m -p 3) — 1 
pour les points déterminants soit atteint sous la condition que ces points ne forment pas un 
« groupe spécial a , on aura fixé un faisceau de courbes de l'ordre n , qui sera transformé 
en soi-méme. Les points base restants seront de méme des cycles ou des points doubles. 
Laissant de coté les applicalions, je me propose ici de faire la discussion complète 
des faisceaux de cubiques, parceque des récherches analogues seront importantes pour 
la T partie: 
aj Dans une homologie harmonique on fait passer par quatre paires de points 
un faisceau de cubiques. Le neuvième pivot est le centre d homologie, attendu que qua- 
tre fois on peut composer une C3 d'une droite et d'une conique. Le centre est un point 
d'inflexion commun et l'axe en est la polaire barmonique. 
bj Le faisceau le plus général anallagmatique pour une homologie d'indice 3 est 
déterminé par trois triples périodiques. Toutes les cubiques sont équianharmoniques et 
anallagmatiques. Voir § 3, IIL 
cj Dans une homographie d'indice 3, trois triples déterminent une seule cubi- 
que; pourvu qu'iis ne forment pas une configuration de l'éspèce découverte par M>L 
Schròter et Rosanes, et qui se Irouve désignée dans un Mémoire déjà cité par 
Atti — Voi. I. Serie 5."— N.o 5. 2 
