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La courbe correspondanle à une droite de E' est d'ordre n + 1 , passe siinplement 
par rf, et n points déterniinés, allignés avec . Les points d\ , d\ soni fondamentaux , 
ayant n rayons par d^ et un rayon par d. pour leurs courbes fondamentales. 
2. Une homographie possédant des coniques transformées en soi-méraes soit objet 
de la recherche. Ces coniques passent par d^ , d^ et l'homographie sur chacune d'elles est 
contenne dans une boniographie entre les droites par d^. Le faisceau des groupes de 
ces droites et le faisceau des coniques servent à établir une transforraation en leur fai- 
sant correspondre deux faisceaux de droites dans E'. 
On peut la déduire du cas précédent, en transformant tout le pian E par une tran- 
sformation quadratique, qui ait pour points principaux (Zj et deux points infìniment rap- 
procbés à d^ sur la droite d^d^. 
Quand d'autre part on fait correspondre les deux faisceaux de E' à un faisceau ana- 
logue de coniques et à un faisceau concentrique de rayons on obtient l'afBnité particu- 
lière, qui a été rencontrée incidemment à propos d'une recbercbe sur les transforraations 
quadratiques dans le Mémoire K. 3. J'emprunte de là les caraclères principaux de cette 
atrinilé pour ìi impair. 
Aux droites de E' correspondent des courbes d'ordre ìi qui possèdent en d^ un point 
(n— l)tuple, dont les tangenles coincident — - — à — — - avec d^d^ et d^d^. Chacune 
des ces courbes possède n autres points d'inflexion, qui tombent sur la droite (/^ cJj 
et forment sur cette droite un groupe homographiquement cyclique , rf^ , c^j étant les élé- 
ments doubles. 
Aux droites de E correspondent dans E' des courbes d'ordre n, qui ont d'^ , rf'j 
n 1 
pour points — — tuples, dont les tangentes coincident avec rf^c/, , d^d^. Outre cela cha- 
w 4- 1 
(|ue branche a un contact ^ ■ ponctuel avec sa tangente. Pour la réduction de la 
classe et du genre, cela fait que ainsi que comptent pour \- 3) points dou- 
bles de plus. 
3. Soit proposée une homographic d'indice 3. Suivanl le § 4 on sail construire un 
réseau de courbes d'ordre 3, auxquelles oo' triples de cette homographie sont inscrits. 
Ce sont les courbes équianharmoniques , in-et circoscrites dans un luéine sens au trian- 
gle des points doubles. 
En effet chaque courbe équianharmonique qui contient un point du pian contieni 
aussi les deux aulres qui forment avec lui un triple conjuguc par rapport au triangle dou- 
blé; de manière qu'une seule cubique passe par deux triples périodiques. Ce réseau de 
cubiques, fait correspondre à un réseau de droites, donne lieu à notre transformation. 
Par là aux droites de E correspondent des cubiques à un point doublé variable dans E' et 
qui possèdent aussi un triple langenliel fìxe. 
4. La ménie homographie pout otre utilisce d'une seconde manièro, en consti'uisanl 
commc dans le numero 2 l'aninilé pour n — Z. 
Hélativement à une mélhode fondée sur l'application de ce paragraphe, comparez le 
g 5 de la qualrième partie. 
