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ir: partie 
TRANSB^ORMATIONS QUADRATIQUES PÉRI0DIQUE3 
§ 1. — Caractères généraux. Premier principe pour la discussion. 
Une Iransformation quadralique sera appelée périodique à l'indice n, si chaque 
point se confond avec son n^ème iransformé. Cela n'empéche pas, qu'il y ait des points 
isolés ou une infinité de points, qui coincident déjà avec leurs f'^mes transforraés, où / 
est un facteur de n. Une Ielle transforniation donne origine à des groupes de points, qui 
peuvent étre comparés aux groupes homographiquement cycliques, qu'on connait déja 
(Voir la [•"■partie), quoique ils en diffèrent et n'y soient réductibles que dans peu 
de cas. 
1. Le norabre des groupes cycliques conlenus dans chaque Iransformation est dé- 
terminé et il reste à chercher la condition pour que se présente un groupe de plus. Par 
cela sera engendrée une infinité de pareils groupes, qui remplironl une certaine cour- 
be. Quand un groupe apparali au surplus, qui ne soit pas nécessairement lié à cette 
courbe anallagmatique *), tout le pian sera Iransformé périodiqueraent. Cette manière 
de trailer le problème conviendrait pleinement à sa nature de problème de clóture (« pro- 
blema di chiusura, Schliessungs-problem »). 
2. Au lieu de l'application immédiate de celle méthode, un autre point de vue plus 
fécond et plus commode se prète à la l echerche géomelrique. Il consiste à trouver une 
position muluelle des deux triples principaux, de fagon que la péridiocilé demandée ap- 
paraisse. Plus précisément : on cherchera d'oblenir par la position des deux triples, que 
la Iransformation quadralique après n opérations successives devienne une homogra- 
phie et, s'il y a lieu on s'efforcera ullérieurement d'en faire une idenlilé. 
Une Iransformation quadralique est coraplètement donnée par les deux triples 
principaux et un couple de points correspondants pp. Mais puisque entro les triples 
principaux doit aussi exister une transition au moyen de la Iransformation, l'indéter- 
mination du couple pp suffira pour faire entrer un point quelconque dans une chatne 
périodique, mais il ne suffira pas pour elTecluer la périodicilé de toule la transformalion. 
Ainsi s'explique-t-il pourquoi ce principe général est la base de toule nolre théorie: 
Pour la périodicilé d'une Iransformation quadralique il faut, que lous les points prin- 
cipaux du premier système coincident avec des points principaux du second sysfème ou 
que par les transformalions successives appliquées à leurs positions dans le second systè- 
me ils arrivenl aux points principaux de ce système. 
3. Envisageons les rayons par quelqu'un des quatte points doubles de la Iransfor- 
mation. Ils se transforment en des coniques par le méme point doublé et les tangcnles 
*) L'idée s'éclaircit par l'exemple du point doublé , qui dans uno transfomiation involutive du dégré 17 exìste à l'extó 
rieur de la courbe, lieu de points doubles. 
