de ces coniques se Iransforraent réciproquement en des coniques, qui sont langenles 
aux rayons du premier syslème. Enlre les rayons du point doublé résulle ainsi une ho- 
mographie, qui pour les transformalions périodiques sera périodique. Voilà une condi- 
lion, qui sous des circonstances favorables pourraélre substiluée avanlageusement à une 
condilion moins praticable. 
Aux rayons da, db, de correspondent les coniques décomposées da', b'c; db', c'a; 
de, ab', qui ont en d les langenles da', db', de. Pourtanl celle condilion prend la forme 
nouvelle : 
Dans chaque point doublé d d'une Iransformation quadralique périodique l'homogra- 
phie determinée par les droifes d(aa', bb', ce') est nécessairement périodique. 
4. Il y a loujours un couple involulif de points y^y^. Si ce couple est propre*), 
une droile par y^ est Iransformée en une conique par y^, qui admel dans y^ une cer- 
laine tangente. Chaque courbe, qui est tangente à la première droile en y^ se Iransforme 
en une courbe tangente à la seconde droite en y^. De celle manière une homographie 
résulte enlre les deux taisceaux y^, y^. Réciproquement les rayons du premier syslème 
par ?/, donnent origine à une autre homographie analogue. À ces deux homographies 
correspondent deux coniques directives par ?/, , y„. 
La première conique contieni les points d'inlersection de 
y^a , y^a ; y,b , y^b' ; y,c , y^c , D, ; 
la seconde ceux de 
2/.jrt , ; y.^b , ; y^e , y^c , Dj . 
La Iransformation étant périodique, on observera ce qui suit: Ménant une droite 
par ?/| jusqu'à l' inlersection avec Dj, joignant ce point à prolongeant cette droite 
jusqu'à Dj et conlinuant à procéder ainsi, la figure construite sera fermée. Cette con- 
dilion s' exprime sous la forme suivante: 
S'il y a une Iransformation quadralique périodique aux points principaux a 6 c et 
a b' e qui possède un couple involulif en y^ , il y aura aussi une Iransformation qua- 
dralique périodique, qui possède deux paires de points principaux conjugués coincidenls 
en croix dans y^, y^ et Iransformant a b c en a b' e. 
5. Gomme je me suis proposé dans l'introduclion, je pense de donner dans ce Mé- 
moire une énumeration détaillóe et une étude de toutes les transformalions quadraliques 
périodiques, en faisant usage du principe énoncé ci-haut. Au surplus j'indiquerai com- 
plèlement, quelles soienl les transformalions déductibles d'autres plus simples par des 
mélhodes le plus appropriées à notre objel , et quelles soienl celles d'exislence indé- 
pendanle. 
Dans l'étude des transformalions individuelles il faul surtout se lenir aux poinls 
de vue suivanls: 
1. Combicn de données et quelles sont nécessaires pour délerminer suffisammenl 
une Iransformation périodique? 
2. Commenl peut-on construire une Iransformation d'un caraclère déterminé? 
3. Coinmcnl se comporlcnt les poinls doubles relalivemenl aux homographies des 
faisceaux, doni ils sont les sommcts? 
•) Comparez pour celle dénominalion la l\' partie. 
