conique par a'-6c , c'est-à-dire en un couple de droiles par a. Cela démontre, qiie 
la tangente en a' représente deux tangentes de Z^ touche en a la courbe C3. 
La courbe K. pour t/, se décompo5e en aa , cb\ rf, bc et (ab'c'd^ds)-. La coui- 
que a un poinl libre en commun avec C3 ainsi que la tangente en représente deux 
tangentes de Z^ 4u surplus le contact en rf, se déJuit aussi du contact dans les six au- 
tres selon le théoième, que les tangentes de C3 en une configuration cyclique formenl 
une autre configuration cyclique et puisque la C3 est équianharmonique. Donc: 
Uenveloppe T? dont les tangentes unissent les points d'une C3 à leiirs deuxièmes 
f-^ansfbrmés est équianharmonique et a si,ig^ow/' triple Hessien. Elle est tangente à la 
courbe C^en aa d, bb dg cc'dj . Toutes ces courbes forment donc une sèrie avec 9 points 
fìxes et à Vindice 4 *). 
Les courbes C3 et Z^ ont telle posilion, qu'il y a une infinilé de triangles, qui sont 
inscrits à la C3 et circonscrits à la Z'. Cela donne lieu au théorème géométrique: 
Il y a une infìnité de courbes de la troisième classe C^ qui sont tangentes à une 
courbe équianharmonique du troisième ordre en neuf points. Ces neuf points for- 
ment une configuration cyclique. A. chaque courbe sont circonscrits infinis triangles , 
qui sont inscrits dans C3. 
Dès le moi de raars 1880 j'étais arrivò à ce théorème, c'est à dire avant la publi- 
cation du travail de M. Halphen dans le Bulletin de la Soc. Math. de France. Du 
reste son théorème algébriquement Irouvé n'est pas aussi compiei. 
18. Je passe à l'enveloppe des droites, issues des points d'une C3 aux troisièmes 
transforraés. Sur une droite arbitraire il n'y a qu'une seule paire de points correspon- 
dants. Ainsi les enveloppes en queslion forment une serie de l'indice i. 
La classe se trouve de nouveau égale à 3. Pour le triple des rayons aa\bb\cc l'en- 
veloppe est le point s trois fois compiè. Des Iransformés d'un point de z, a trois se Irou- 
vent sur i^d et sont les triples d'une homographie périodique aux points doubles i,d^. 
Le point p de ?',a projette celle homographie en une autre aux points doubles i^ , i^ sur 
la droite ?, i^. Or la droite menée à p passe en /, , les points p\ sont donc projétés 
enj\ Par conséquent est l'enveloppe pour les deux triples i^ a, 6, i, c et 
li a , i^b , i^c , qui se correspondenl involulivement. La sèrie dèterrainèe par les deux 
courbes 3s et /, + est idenlique à la sèrie des courbes 
Les droites mènées des points d'une C3 aux premiers ou troisièmes Iransformés 
enveloppent u;ie mé.T.e et seule courbe E\ Par sulle 9 des 15 cólés d'un sexluple pé- 
riodique sont tangents à une courbe E^ les six autres se sèparent en deux triples, 
dont chacun est tangent à une courbe Z^ 
19. 1) Une droite g du pian contieni deux couples de points correspondants et 
un couple de la trasformation involutive. /l^n que 
trois iransformés successi fs soient alignés , il faut 
que r coincide avec 2. Mais alors 1' est un poinl 
de contact de g avec la courbe E' y appartenanl, 
parce que deux tangentes de 1' coincident a\ec 
la droite g. 
Mais il est de méme un point de contact de g 
avec la C3 qui correspond à la E\ V, 2 étanl génèralement deux points de la méme 
cubique. 
■) Au moyen d'une transformation de celles du n. 3. § 5, 1. partie celle sèrie se change dans les tangeates d'une courbe 
de 3ième ordre et de 4ième classe. 
