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2) Soit g une droite , sur laquelle un point , son premier et troisième tramformé 
soni réunis. Alors 1' et 0, coincideronl dans un point de contact de g avec de méme 
que avec la courbe Cj , qui ies contieni. 
3) Lorsque sur la droite g se trouvent un point ^ son premier et son troisième 
transformé vers le premier syslème, 2 et 0^ doivent coincider et par suite 0^ sera un 
point de contact de ou et de méme un point de contact de la courbe C, avec g. 
20. Or je détermine Ies lieux des points 1), 2), 3). Certaines considérations gé- 
nérales, qui se Irouvent dans le Mémoire K. 3., monlrent que la première courbe est du 
gième ordre et qu'elle se décompose ici en aa\ bb\ ce et la conique 2, i.^ d^ d^ d^. De méme 
ies autres courbes soni de l'ordre 8 et se réduisent respectivement à aa',66',cc', Fj-}- 
(i^i^àb'c'y et ad , 66', ce', i^ i^ abc. Toutes ces coniques soni tangentes aux droites 
hs , i„s. 
Chacune d'elles renconlre une cubique Cj dans trois poinls variables. De là on tire 
ce Ihéorème fori remarquable. 
La courbe enveloppe W (E*) appartieni à detta; cuh'gues C3 du faisceaii et est tan- 
gente à chacune d'elles dans neuf points. Un pareil groupe de neuf points forme une 
confìguration cy eli que par rapport au triple sijij *). 
Les droites lieux des triples de points considérés tout-à-l'heure enveloppent trois 
courbes de la troisième classe, doni la droite i^ est une tangente doublé, aux points 
de contact .,i^. Pour toutes ces trois courbes aa\bb\cc soni les tangentes de rebrous- 
sement. Les points de rebroussement soni silués dans trois différentes coniques, qui 
soni tangentes en i^ aux droites i^s , i^s. 
Ensuite on conclùt des figures du n.° 19: 
Les neuf tangentes commiines à une courhe C3 et à son enveloppe correspon- 
dante soni les tangentes communes à E^ et à Tenveloppe qui appartieni à la cubique 
transformée de C3. 
21. Les équalions des trois coniques étant 
OC j 00 ^ oc 2 ^9^3 £ 3? j — ~ 0 ^ ^ '3 £ OC ^ OC 2 - 0 
où la dernière passe par , d^, (/a, la droite polaire d'un point I, , , Ì3 par rapporl à 
celle conique a l'équalion 
Elle passera par le premier transformé de 4, 4j , quand 
è, (è^ - eè^is) + è, {Ì\ - eè, 43) - 2(e'4\ - 4. 4,) 43 = 0 
ou bien 
4^ + 4%-24\ = o, 
c'est-à-dire, le point 4, 4^43 doit se trouver sur la courbe r,. Ainsi on conclut : 
Les triangles , qui soni inscrits à la courbe et circonscrits à la courbe E^ et re- 
présentent des triples transformés en eux-mèmes, sont des triangles conjugués par rap- 
port à la conique i, ij d, dj d3 . 
Attendu que — abstraclion faite de la transformation — les Irois coniques ont 
méme relation avec la courbe , il s'ensuit: 
La courbe équianharmonique et la courbe de la troisième classe E^ qui est tan- 
') Cela g'éclaircit bien au moyen de la transformation multivoque rappelée ci-haut. Les courbes déviennent des co- 
niques etc. 
