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I. — Cubiques doni V invariant absolu est arbilraire. 
lei, les points de la courbe étant représenlés par les arguments d'une intégrale el- 
liplique de première espèce, il y a les deux séries de co' corréspondances univoques 
u -\- u , u — m'=y. 
1. m4-w' = t- Les droites uvì passent pas un point Gxe — y de la courbe, variable 
avec la corréspondance , qui est d'elle-méme involutive. 
On arrive sur le champ à une des transformations demandées si l'on détermine 
sur chaque rayon par (— y) l'involulion, qui possède ( — y) comme point doublé et ren- 
ferme la paire de points d'intersection avec C3. Le lieu des seconds points doubles est 
une conique, la première polaire de — y par rapport à la cubique. Les trois paires de 
points principaux de celte transforraation se confondent avec (— y). C'est une inver- 
sion particulière, caractérisée par ce que le centre d'invérsion tombe sur la conique. 
Donc: est réproduite par co^ inversions spéciales. 
En général soient aa', bb\ ce les arguments d'une qui fait corréspondre les u 
aux u. On aura 
a -\-u^ -\- u^ = 0 
à -|- u\ -j- u\ = 0 
donc 
a + a4-2y = 0. (1) 
Cela montre que deux points principaux accouplés soìit allignés avec le point taU' 
gentiel du cenlre de la corréspondance. 
Le point a étant corrésponJant au point — + on a 
a — {b' + c') = y 
et en retranchant (2) de (1) 
a' + 6 ' + c' = — 3y 
d'où 
a + 5 + c = 3y . 
On doit encore observer, que la corréspondance entro les points principaux et les 
points d'intersection des cólés opposés appartient à la seconde classe 
«'-[-(^'' + 0] = -3y. 
Tonte droite par a est projelée de (— y) sur la cubique en une droite par a et ces 
deux faisceaux sont homographiques *). Ainsi on arrive à une dénionstration simple 
et rigoureuse pour l'invarinbilité du rapport anharmonique d'une cubique. 
On prcnd enfin les trois bomographies dans a a, ce pour celles d'une tran- 
sformation quadratique sans lomber dans une inconséquence et on voit: 
•) Cela pst une conséquence de la construction univoque. Mais on le démontre aussi par Jes raisonnements purement 
géometriques faisant usage des théorémes sur le point opposé. 
