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L'enveloppe des droites u u est une courbe de la troisièrae classe , qui est tangente 
à en rfj , rfj, c?3, et 
Ces neuf poinls formenl une contiguration cyclique et restent les mémes en per- 
mutant enlre eux les trois triples conjugués. On conciai: 
La méme eiiveloppe apparlient à trois congruences, elle a dono trois séries de tri- 
ples circonscrits qui soni inscrits à la cubique.. 
[C'est le mérae Ihéorèrae que j'ài démontré géometriquement au §2]. 
Q'' se réduil à une homograpbie , si 3y = 0. Dans ce cas les trois poinls doubles for- 
menl un triple conjugué par rapport au triangle Hessien , et in-et circonscrii à la cu- 
bique. On compie six pareilles homographies. 
[Voir une déiiionstration sléréomélrique de ces homographies dans mo:i travail : 
0 Ueber cine ein-dreideulige Abbildung einer Flache driller Ordnung ». Cr. J. Bd. 95, 
p. 147 , el d'autre pari le § 3, I. parlie de ce Méraoire ci]. 
IV. — Propriélés communes à loutes les corréspondances. 
Les conclusions précédentes seront appliquées sous des formes Irès variées au dé- 
veloppement de la Ihéorie el je crois nécessaire, de résumer ici quelques principes 
plus généraux el très féconds, qui dérivent des raisonnemenls particuliers exposés tout 
à riieure. 
A) Lorsqu'une transformation quadratique réproduit une cubique en y produi- 
santO, 1, 2, 3, 4 poinls doubles, la corréspondance sur la cubique aura respective- 
ment la forme 
u — m' = Y 5 u' -\- tu — y ; u — iu = x ; u — sw = y 5 -j- « = y • 
Dans le second el qualrième cas la cubique sera équianharmonique, dans le troi- 
sièrae cas elle sera harnionique. 
B) Dans tous les cas enlre les poinls principaux el les poinls d'interseclion avec 
la droile principale opposée exisle une corréspondance de la forme 
où Y est loujours = — 3y quand on passe du système des a au syslème des a. 
C) Enlre deux poinls principaux accouplés c'est-à-dire, enlre deux poinls, qui 
projetlent la corréspondance par deux faisceaux homographiques , exisle une corré- 
spondance loujours de la mème éspèce (jue la corré-;pondancc donnée , mais de la sor- 
te, qui; SOS poinls doubles soni les poinls langentiels des poinls doubles de la corré- 
spondance donnée. Ou bien la constante y est = — 2y. 
Ainsi naìt une sèrie de corréspondances , sur lesquelles on peut faire réposer U7ie mé- 
thodcpour l'élude des Iransformations périodiqucs . 
