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D) FjOi'squ'on projetle une des corréspondances sur d'un poinl voruible gr, 
on obtiendra une corréspondance de la méine espèce 
« = Y ' «■ + = — (r + £5') ; u iu~ — (x — (i -i- i)ff) , u —iu^ — f{—{l — t)g, 
u +u = — {x — 2c,) , 
qui dans le premier cas seulement est idenlique avec la donnée. 
Il y a donc des points , desquels on peut projéter une corréspondance donnée en 
une autre donnée. On en trouve respectivement oo* , 1 , 2 , 3 , 4. Ce soni: 1. tons les 
points de la courbe ; 2. le résidu des denx poinls doubles; 3. deux points formant avec 
les quatre points doubles un quadrilatère compiei; 4. les trois centres d'horaologie des 
deux tiiples di^i.^^, 5. quatre points contangenliels, les résidus de deux points doubles 
quelconques pris dans les deux corréspondances. 
En particulier , il y a des poinls qui projettent une corréspondance donnée en elle- 
niéme. 
E) Quelle que soit la corréspondance , les (rans format ions quadratiques Q* qui la 
conliennent formenl un réseau (Voir K), savoir un system e lei, que par une paire de 
points donnée une seule est délerminée. 
En effet je vais délerminer le nombre des droiles d p qui passent par un point q 
donné, p. e. sur C,, quand ap passe par un point fixe Une droite y par r/ coupé C3 en 
trois points dont chacun peut étre considéré comme point a , la corréspondance étant 
seule, le point a relatif à a se trouve univoquément , et par suite le rayon y corréspon- 
danl à t- Afin que cette droite passe par q^ le point q doit étre compiè ou coinme a'ou 
comme p ou comuie p el on en arrive univoquément aux points corré-'pondants a, 
et par suite à trois rayons y passant par q. Les droiles y qui corréspondent à toutes 
les droiles y par g formenl une enveloppe de la 3'^'"* classe. Les trois droiles pas- 
sant par un point arbilraire q du pian ressorlent d'une seule transformation quadra- 
lique, donc gq déterminenl une seule Q^ 
[ F) Ilemarquons d'abord qu'un triple donné sur C3 appartieni à 18 corréspon- 
dances de chacune des 5 espèces comme triple principal. Je dois supprimer ici les 
recherches variées qui suivent de cette remarque. 
On peut désigner en suivanl un procédé usuel Tensemble de toutes les transforma- 
lions , qui reproduisent une méme C3, comme un groupe, plus parliculièremenl toutes 
les transformations biralionnelles , qui réproduisenl une C3 . Or je dis; 
1. Toutes les transformations biralionelles , qui réproduisenl une C3, sont déduclibles 
par composilion des transformations quadratiques établies dans ce paragraphe. 
Dém.: Tous les points fondanicntaux de la transformation sont conlenus dans C3 . 
Prenez les trois poinls fondamenlaux supérieurs pour points principaux a b c d'une 
Iran&formalion quadralique et cliercliez la corréspondance convenable el alors les 
trois points a b c . L'application de celle réduit la transformation donnée à une autre 
de moindre dégré, qui répioduit encore la C3. Celle opéralion se poursuit , jusqu'à ce 
qu'on arrive à une transformation quadraticjue. 
Toutes ics transformations biralionnelles, qui produisenl une méme corréspon- 
dance sur C3, formenl aussi un groupe, eie. 
Toutes les Iransforniations biralionnelles, qui produisenl sur C^ des corréspon- 
dances de l'espèce u — M^y, formenl ensemble un gioupc ]. 
