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§ 4. — Transformations quadratiques , qui réproduisent 
une cubique rationnelle. 
I. — Cubique à point doublé. 
Il y a deux cas à distinguer: 
aj Deux points principaux accouplés aà sont réunis dans le point doublé. 
Une autre paire de points principaux b b' est contenu sur C3*. 
Dans C * se trouvera une homographie. Soit A<xP +Ba + Cp 4*D = 0 son équa- 
tion. Si aL^a^ck^ — k est la condition, pour qua «^Wj^a soient trois points allignés on a 
en raéme teraps 
dono 
6' (b^ A + DB (a. + a,) + D'-) = h (h? y + AC («^ + a,) + C^j 
identiquenaent pour tout Dono on a 
et d'après pour la valeur de 6 
66' D^ + 6' ^B' — h¥ C — 7c^ A.^ = 0 , 
d'où 
AC , AB 
^=DB ' ^=CD 
Il n'y a dono qu'une seule transformation quadratique, qui contieni l'homographie. 
Les points ce se Irouvent univoquement. 
Sans tout calcul on peut réconnaìtre, que le probléme a une seule solution. En ef- 
fet aux deux points inSniment proches au point doublé corréspondent vers chaque di- 
rection deux points, dont la droite coupé C3* en 6 réspectivenienl en b' et contieni 
c ou c. 
bj Tous les 6 points principaux sont situés sur C^*. Le point doublé se corré- 
spond lui-raéme, Les deux points voisins sont ou des points doubles de l'homographie 
ou une paire involutive. 
En cas d' homographie elle soit Ba+Cp=0. Alors ba^a^=k ou b ^^^^z= k 
entriiìne ò'^^p^^/c, donc b' = b . 
On a de plus 
k 
— B + Ca' = 0, donc A;B + Ca'6c = 0, 
oc 
d'où 
B3 , , C^ 
abc = — k-^, abc = Jc — . 
Il existe une doublé infinilé de transformations quadratiques, qui contiennent l'ho- 
mogrnphie donnée. 
