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I 6. — Transformations quadratiques , qui réprodnisent 
une conique. 
Pour qu'une conique C.^ soil Iransforraée en soi-méme, il faut que contienne deux 
paires de points principaux accouplés et une homographie. 
On peut donc supposer dans une homographie, prendre alors des points ar- 
bilraires corame aa\bb\ lirer des droiles de b\a' et 6, a aux points corréspondants 
à a,ò et a , 6' vers la seconde cu la première direction réspeclivement : les ^points 
d'inlérsection de ces deux paires de droites sont c',c. Au moyen des faisceaux homo- 
graphiques a, a' et 6,6 qui projellenl i'homographie sur , on complète la transfor- 
mation quadratique. 
L'homographie étant choisie périodicjue et deux points principaux accouplés étant 
pris dans le méme cycle, il ne s'agirait que de la recherche si les pomts c,c' construils 
subséquemmenl sont enchainés par la trans formali on quadratique. Cela sufBrait pour 
établir les considérations de ce paragraphe indépendamment des transformations pé- 
riodiques conslruiles plus tard. lei elles ne sont pas poussées si loin. Plulót on a dé- 
montré, que les points principaux sur peuvent étre pris de la sorte que la paire c e 
remplisse cerlaines conditions connues d'avance à savoir que la droite c e touche en 
un point doublé; cela élant une condition qui sera reconnue nécessaire à la périodici- 
té. Quand on a choisi l'homographie périodique d'un indice qui convient à la périodici- 
té de la transformation suivant les recherches des 10, II, 16, 30, 31, toutes les con- 
ditions seront remplies, qu'on peut imposer aux points principaux sur Cj. Les figures 
ainsi obtenues seront idéntiques à celles, qui seront plus tard par une autre voie trou- 
vées apparlenir à ces caracléristiques. 
L'enchaìnement des points c e se conclùt alors de soi-méme. 
I. Supposons, qu'on ait sur les chaìnes a', a'^ , a et 6, 6'^, 6, prises dans une 
homographie périodique. Si l'on prend a'a^b'b corame deux paires de points principaux 
d'une Q" , on cherchera les points corréspondants de a et 6 vers le sens a a et on 
ménera des droites à b\à. Ces deux lignes se coupent en e . Or entre a a ci b b sub- 
siste une homographie ayant corame points doubles les points doubles de la donnée , 
a b et b'a se coupent donc sur cl^d^. Par la méme raison ba.' et a^' se coupent sur d^d^, 
a. et g étant les Iransforraés de d et b' vers ad. Visiblement il est impossible, que 
ce' touche la conique C^. 
II. Les chaìnes da et b b\b\b élant supposées, les points a, a, b , b en soicnt 
les transformés corame auparavant. Laissons invariable l'homographie et faisons va- 
rier 6; ainsi db et b' a décriront deux faisceaux homograpliiques , dont le lieu engen- 
dré est une conique F par d^d_^ et da et contieni les points c. Analoguément le lieu de 
c est une conique V' par d^d^ad de fagon que les rapports anharmoniques {add^d.^) et 
{add^dj sur les coniques respectives sont égaux. 
Si un point variablc sur (/, c/^ est lié avec deux points d et a des deux coniques 
r, r', les deux aulres poinls d'inleisection de ces droiles avec r,r' sont deux points 
c,c'. Kn considérant les poles de d^d^ par rapport à C^ , T, T on volt, que « a et 
T a ne se coupent jamais sur la droite d^d^. La droite ce enveloppe donc une conique. 
11 y à certainement une tangente de celle-ci qui passe par rf^; celle-ci donne une Iran- 
