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1. Les Cgdu faisceau se rangenl en une homographie, où il y a certainement deux 
cubiques anallagmaliques. Cherchons, si ces deux cubiques peuvent se décomposer, 
Quand une C3 se décompose , la droile et la conique ne se lencontreront pas dans un 
sommel , parce que cela deuianderait deux poinls base infìniment voisins , dono la 
droile conlient deux points principaux et un point intercalé. Supposons d'abord, que 
ces points ne soient pas accouplés: a,c', le dit transformé soit . Si se transforme 
immédialement en c , ac se transforme en a c en ce et donne origine à une C3 anal- 
lagmalique, qui pourlant ne contient pas tous les sommets. Si d'autre part il y avait 
Cj à à c', on aurait ac en ac^c^ et parceque quatre points base ne peuvent pas ètra 
alignés , cetle droite ne contiendra pas a ni 6 ni c , et sera donc Iransformée en une co- 
nique. Encore aucune C3 du faisceau n'est complétée. 
Soit donc b^ le transformé aligné avec a, c. Celte droite se transforme en a'c,6, 
si vient immédiatement à 6 , et afìn que la dernière droite soit fournie pour complé- 
ter la cubique désirée , il faut que a^b' c soient alignés et que c^ se transforme en c. Si 
aulrement c vient direclement à c, acb^ sera transforraée en àcb , si b^ se transforme 
en 6 , ou en acb , sì b se transformé en b . Mais alors a'cft se transformé en c a 6 en 
' 2 ' 1 2 2 1 
b'ca^^ qui n'est pas la première droite; donc une cubique n'est pas composée. 
Rélenons d'avoir rencontré le cas , où ab^c\ bc^a\ ca,ò' sont alignés. Si une se- 
conde cubique décomposée est démandée, il ne reste que les allinéations 
ac^ h , ha^ e , cb^ à . 
Alors a, , ^1 , sont réspectivement les points d'intérsection de 
be' , b' c ; ca' , e a ; ab\ à b . (D) 
Celte figure sera approfondie ci-bas. 
Reste la seconde supposition , que ad soit une partie de la conique décomposée. 
Alors elle contiendra nécessairement le point a^ . Elle est Iransformée en soi-méme et il 
reste une conique passant par les six autres points, En laissanl de coté le cas, o\x b' en 
èj' en 6, c'en c ^ en c se trouve dans la caracléristique, cas qui serail contenu parmi ceux 
déjà Iraités, on aurait donc b' en b^ en 6J en b et c en c où l'allinéation b'b^' b^b, néces- 
saire à la décomposition d'une seconde cubique du faisceau, serail impossible, 
Excepté le cas D) il est impossible de trouver une transformation quadratique , qui 
réproduise un faisceau de cubiques de manière, qiiaucun sommel ne soit pas un point 
doublé et aucune cubique propre ne corresponde pas à soi-méme, 
2. Mais pour ce seul cas possible les droites ne renfermant aucun point doublé, 
il y a quatre points doubles à l'extérieur des droites. Quand une cubique du faisceau 
passe par un d'eux, elle est anallagmatique et chaque cubique du faisceau est réprodui- 
te , par conséquence. 
Prenons donc sur une cubique une pareille transformation quadratique. 
Il s'ensuit (§ 4, I) que 
a^ = a — Y d = a — 2y 
6, = 6 — Y V~b —2-^ 
c^ = c — Y e =c — 2y 
donc 
r,, + i,-f-c.-a + i + c-3YE:=0. 
