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l'on a vu , que chaque triple périodique avec abcàb'c forme la base d'un faisceau 
anallagmalique. En ouUe on peut comparer les §§ 12 , 16 , 19 , 24 , 27 , 30 , 31. 
C'est le résultat le plus singuiier de cette théorie , que sauf quelques variélés 
loules les IransfortDalions périodiques isolées soni idéntiques avec les transformalions 
de ce paragraphe el qu'au moins on peut les y réduire. 
I 9. — Sur la construction des caractéristiques 1 , 2 , 3 , 4, du § 3. 
[Ohservation générale. Ces préparations achevées, je vais chercher à découvrir 
l'existence des transformalions périodiques et éciairer leurs propriélés. 
Une mélhode s'offrant immédialeraent, serait celle employée au commencement 
du § 2 el déclarée comme générale déjà au § 1 , qui consiste à faire varier plusieurs 
points principaux en prenant fixes quelques aulres, jusqu'à l'apparition de la périodi- 
cité et à en puiser les conditions pour les points principaux. Aux premiers pas la re- 
cherche pourrail suivre une miirche complétenient analogue aux n. 1-5 du § 2. 
Bienlót je me suis décidé à abandonner celle longue et pénible sèrie de considé- 
ralions géométriques et je suis passé à une autre mélhode qui est appliquée pour la pre- 
mière fois dans ce paragraphe. 
Dans les §§ IO à 13 et ainsi dans les aulres seclions il s'agirà donc d'élablir les 
cubiques anallagmaliques — quand elles exislent — et gràce à ces ressources les trans- 
formalions peuvent étre déterminées. A cel égard je me permets de renvoyer le lec- 
leur aux ruisonnemenls variés qui font connaitre l'éxislence des cubiques et parlicu- 
iièremenl l'indice des corréspondances , qu'elles portenl. 
Pour plusieurs de ces caractéristiques j'en ai proGlé pour y nouer une recherche 
diligente de la Iransformation. Des conclusions de caractères el d'associations bien 
diverses conduiront particulièreraent dans les §§ 12, 18 à 22, 25 à 29 à pénélrer 
dans la nature des transformalions. Je ferai ici menlion des méthodes suivantes: 
1. L'application des coniques de direction, cf. Appendice 1. 
2. L'application du théorème suivant; 
Quand une transformalion quadratique aux points principaux aa' , bb', ce Iran- 
s forme p en p', q en q , il y a en ménie temps une homographie , qui trans forme a b c p q 
en a b c q p . 
3. La recherche des homographies ternaires ainsi que des trasformations supé- 
rieures entre les points de la caracléristique. À cel effet nous nous servirons enlre 
aulres du théorème précédenl, ensuile du théorème du § 4, IV. 
Du reste il faut comparer les remarques faites au § 35. J'observe encore , qu'en 
général le travail K m'a élé Irès utile. 
1. tt en a , en 6 , c en c\ eu c'^ en . . . c„_, = c. 
Suivant le théorème du § 2 n. 5 on a la condilion : Les points ce soni une paire 
de points corréspondanls d'uno homographie, qui Iransforme a en a en b en b' en a et 
est périodique de l'indice 4. Elle a (a6', a'ò) comme poinl doublé , (aa, 66') et (a 6, a' 6') 
comme paire involutive. 
La transformalion Q* a le poinl (aa', è6')=i:S ainsi que le poinl (o6', «'6)==:S' com- 
me poinls doubles. Les rayons dirigés de S' vers a el a et ceux vers 6,ò coincident 
par croix; donc les direclions du poinl S soni en involulion. 
Atti— VoZ. /, Serte S'-N. 7. ' 9 
